Factorisations

Sinusix · October 2019

Salut à tous,

J'ai vu dans un exercice cette factorisation :

$a^3+b^3+c^3-3abc = 0,5(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$

D'où sort–elle ? Et admet–elle des généralisations du type :

$a^3+b^3+c^3+d^3 + truc = (a+b+c+d)( machin )$ ou

$a^4+b^4+c^4 + truc = (a+b+c)( machin )$ ?

Je ne trouve rien.

etanche · October 2019

La première c'est le déterminant de la matrice circulante en a,b,c de valeurs propres
a+b+c , a+jb+j^2c, a+j^2b+ jc avec j racine cubique de 1 .

gerard0 · October 2019

Bonjour.

Une fois développée la deuxième parenthèse et multiplié par le 0,5, elle devient moins mystérieuse.

Pour des généralisations, si une expression est symétrique en a, b et c, on peut penser que si dans un facteur, il y a un terme a, il y a aussi b et c, d'où l'idée de chercher une factorisation par (a+b+c) (*); qui marche ou pas, dans ce cas elle marche.

Cordialement.

(*) idée qu'on voyait en lycée il y a 50 ans, car on y faisait beaucoup de factorisations.

Sinusix · October 2019

Merci à vous deux. Je vais creuser.

AP · October 2019

Bonsoir
pour la factorisation de $a^3+b^3+c^3-3abc$ par $a+b+c$
on part du développement de $(a+b+c)^3$ =somme des cubes+3somme des $a^2b$+$6abc$
et en remarquant que $a^2b+b^2a=ab(a+b+c)-abc$
on arrive à
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)((a+b+c)^2-3ab-3ac-3bc)$

Le 2ième facteur est $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ : en le multipliant par 2, on obtient la somme des trois carrés
Mais on a aussi $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a-(b+c)/2)^2+3(b-c)^2/4$

lale · October 2019

$a,b,c$ sont les 3 racines du polynôme $\ x^3 -s x^2 + \sigma_2 x -p =0 $ où $s=a+b+c ,\ \sigma_2=ab+bc+ca ,\ p =abc$.
On remplace $x$ par $a$ puis $b$ puis $c$ on somme et on obtient $ a^3+b^3+c^3 -s (a^2+b^2+c^2)+ \sigma_2 s -3p=0,$
d'où $ a^3+b^3+c^3 -3abc =s (a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ab).$

Sinusix · October 2019

Merci à vous deux. Justement je creuse du côté des sommes de Newton et des polynômes symétriques.

Sinusix · November 2019

J'ai creusé. Exemple : Si $a+b+c=0$ alors

$a^5+b^5+c^5=-5abc(ab+bc+ca)$

Cf. Laisant tome I (1893) exercice 6.

YvesM · November 2019

Bonjour,

Pour le dernier exercice, on écrit $\sum a=0$ et donc $\sum a \sum a=\sum (a^2+a(b+c))=0$ et toutes les relations similaires jusqu’à $\sum a^4\sum a=\sum(a^5+a^4(b+c))=0.$
On substitue en partant de la dernière équation et rapidement on obtient le résultat.
Par exemple : $\sum a^5=-\sum ab(a^3+b^3)$...

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