À la recherche de la nature d'une catégorie.

Maxtimax a écrit:

Ta conjecture c'est donc "il existe un groupe $G_{op}$ qui est aussi une opérade [ opérade dans quelle catégorie ? Et puis quel rapport avec le schmil-blick ?] qui généralise $G_{mot}$ [je ne sais pas de quoi il s'agit mais ça c'est sûrement ma faute] et une catégorie $C$ telle que $C\simeq Rep(G_{op})$ " ?

Il existe une généralisation du groupe de Galois motivique $ G_{ \mathrm{mot} } $ en un groupe de Galois motivique plus générale $ \mathrm{G}_{ \mathrm{op} } $ ayant une structure supplémentaire, celle d'une opérade.
Une opérade dans quelle catégorie ? : Eh bien, une opérade de la forme : $ \mathcal{P} = \{ \ \mathcal{P} (n) \ \}_{ n \in \mathbb{N} } $ avec : $ \mathcal{P} (n) $ un objet de la catégorie des groupes pour tout $ n \in \mathbb{N} $. Ces groupes se mettent sous la forme de groupes d'automorphismes d'objets d'une catégorie qui généralise la catégorie $ NM^{ \mathrm{eff} } (k)_{ \mathbb{Q} } $.

Maxtimax a écrit:

C'est quoi une représentation d'un groupe qui est aussi une opérade ?

Non. Une représentation d'un groupe $ G $ ou $ G $ -représentation correspond à un cas particulier d'une $ \mathcal{P} $ - algèbre, où le rôle de l'opérade $ \mathcal{P} $ par rapport au $ \mathcal{P} $ - algèbre correspond à au rôle de $ G $ par rapport à la $ G $ - représentation.

Maxtimax a écrit:

Quid de $C= Rep(G_{op}) $ ? :-D Plus sérieusement il faudrait en dire plus sur $C$ pour que ça ait un semblant d'intérêt...

Je ne sais pas encore. Aucune idée pour le moment.

Maxtimax a écrit:

C'est qui $G_{op}$ / ça devrait être qui/pourquoi ce serait une opérade/quel rapport il aurait avec $G_{mot}$ ou quoi que ce soit ?

$ G_{ \mathrm{op} } = \{ \ G(n) \ \}_{ n \in \mathbb{N} } $ est une opérade tel que : $ G(1) = G_{ \mathrm{mot} } $ et les restes $ G(n) $, je n'arrive pas encore à les deviner.

Je ne peux avoir d'exemples pour le moment @reuns puisque, j'ignore totalement à quoi correspond $ \mathcal{C} $ et les $ G(n) $ avec : $ n \neq 1 $.
Pour $ n = 1 $, on a : $ G(1) = G_{ \mathrm{mot} } $ correspondant à la partie linéaire de l'opérade $ G $, qui est un groupe algébrique linéaire.
Pour $ n = 2 $, $ G(2) $ devrait avoir une structure de groupe ... quadratique !. Or, c'est quoi un groupe quadratique ? et comment fonctionne-t-il lorsqu'on se restreint à la théorie de Galois classique.
Si tu veux un exemple @reuns, tu me traduis en théorie de Galois classique à quoi correspond un groupe quadratique $ G(2) $. En théorie de Galois classique, $ G(E/K) $ est la partie linéaire d'une opérade $ G $ correspondant à $ G(1) $.

Edit : Un groupe quadratique $ G(2) $ est un groupe ayant pour éléments ceux ayant deux imputs et un seul output. Alors, je peux deviner que en théorie de Galois classique, un groupe de Galois quadratique, est celui qui a pour éléments des formes quadratiques : $ \tau \ : \ E \times E \to E $ avec : $ E / K $ une extension à déterminer sa nature. Et, ils faut essayer de chercher leurs propriétés, et voir comment ces formes quadratiques agissent sur les racines d'une équation algébrique.

Ici, on introduit quelques part la notion de dual que je trouve plus parlant en théorie de Galois, parce que si nous quittons un peu la vision classique de théorie de Galois, les racines d'une équation algébrique ne sont pas simplement des scalaires, mais des sections de revêtements qui sont plus proches de la notion d'élément d'un dual $ F^* $. C'est un champ très fécond en idées, et mérite d’être de plus en plus exploré.