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Réduction

rirarira
dans Algèbre
Bonjour

Soit F un sous-espace son trivial de IK[X] de dimension infinie, stable par D l'opérateur de dérivation.
1) Monter que quelque soit n appartenant à IN il existe P de F tq degP>n.
2) En déduire que quelque soit n appartenant à IN, IKn[X] est inclue dans F
Merci d'avance.

Réponses

  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Si tu nous montrais d'abord ce que tu as fait ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • rirarira
    Il y a deux parties dans cet exercice, la première correspond à F finie, c'était facile, donc je l'ai fait.
    Pour cette deuxième partie la première question me parait évidente mais je pense que ce n'est pas le cas [je me suis dit que puisque P est de F alors P est un élément de IK[X] donc le résultat. càd pour tout n de IN on peut trouver un polynôme de K[x] qui est de degré >n]
    Pour la deuxième question c'est une conclusion de la question 1 car quelque soit P de IKn[X] deg(P)<=n donc P appartiendra à F.
  • PoirotPoirot
    Ta rédaction de la première question est incompréhensible. C'est quoi $P$ ? Quel rapport avec un $n$ quelconque ? Pour la deuxième question, tu sembles confondre "montrer que pour tout $n$, il existe $P$ de degré $> n$ appartenant à $F$" et "montrer que pour tout $n$, tout $P$ de degré $n$ appartient à $F$".
  • rirarira
    J'ai essayé un raisonnement par l'absurde mais je n'ai pas trouvé grand chose.
  • gerard0gerard0
    Si tu veux faire un raisonnement par l'absurde pour la question 1, il faut commencer par nier la propriété que tu veux démontrer. Donc quel est le contraire de " quelque soit n appartenant à IN il existe P de F tq degP>n. " ? Tu en tires ensuite les conséquences ...

    Cordialement.
  • rirarira
    ah oui:
    on a F est de dimension infinie donc quelque soit n appartenant à IN F n'est pas inclue dans IKn[X]
    donc quelque soit n appartenant à IN il existe P appartenant à F tel que degP>n
  • CrapulCrapul
    C'est correct.
    Pour la 2), ce serait peut-être pas mal de montrer d'abord que :"pour tout $n \in \N$, il existe $P \in K$ tel que $\deg (P)=n$" (ce n'est pas ce que dit 1)).
  • reunsreuns
    Pour un polynôme $P \in K[X]_n$ (de degré $n$) on regarde le sous espace vectoriel $E_P = span( P,DP,D^2P,\ldots)$ qui est contenu dans $K[X]_n$ donc au plus de dimension $n+1$, ça répond à la première question, ensuite le problème est de montrer que $E_P = K[X]_n$ ce qui implique que le seul sous-espace de $K[X]$ de dimension infinie envoyé vers lui-même c'est $K[X]$ tout entier.
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