Sur la notion de cycle
Bonjour à tous,
j'ai un petit doute sur un exercice que je fais sur les permutations.
Voici le cadre.
$E$ est un ensemble fini à $n$ éléments.
$\sigma$ est un cycle de longueur $r\ge 2$
$m$ est un entier relatif.
Voici les questions.
1) Si $\mathrm{supp}(\sigma^m)=O_{\sigma^m}(x)$ alors $\sigma^m$ est un cycle.
Est-ce qu'on a bien cette implication ?
2) Est-il vrai que $\mathrm{supp}(\sigma)=\cup_{x\in E} O_{\sigma}(x)$ ?
3) Si j'enlève du cadre le fait que $\sigma$ soit un cycle, les réponses sont-elles toujours les mêmes ?
Merci d'avance !
j'ai un petit doute sur un exercice que je fais sur les permutations.
Voici le cadre.
$E$ est un ensemble fini à $n$ éléments.
$\sigma$ est un cycle de longueur $r\ge 2$
$m$ est un entier relatif.
Voici les questions.
1) Si $\mathrm{supp}(\sigma^m)=O_{\sigma^m}(x)$ alors $\sigma^m$ est un cycle.
Est-ce qu'on a bien cette implication ?
2) Est-il vrai que $\mathrm{supp}(\sigma)=\cup_{x\in E} O_{\sigma}(x)$ ?
3) Si j'enlève du cadre le fait que $\sigma$ soit un cycle, les réponses sont-elles toujours les mêmes ?
Merci d'avance !
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Réponses
Le support d'une permutation, ça va : c'est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas des points fixes de la permutation.
$O_{\sigma}(x)$ désigne sans doute l'orbite de l'élément $x$ de $E$ sous $\sigma$, c.-à-d. l'ensemble des $\sigma^m(x)$ pour $m\in \mathbb N$. En particulier, $x$ est un point fixe de $\sigma$ si et seulement si $O_{\sigma}(x)=\{x\}$.
Ta première question est sans doute la vérité de l'équivalence : $\sigma$ est un cycle si et seulement s'il existe $x\in E$ tel que le support de $x$ soit égal à l'orbite de $x$ sous $\sigma$. Sans la quantification existentielle, la question est mal posée.
J'ai manqué de précisions, c'était bien ma question. Merci d'y avoir répondu !
Que pensez-vous du point 2) ?