Unicité division euclidienne des polynômes

Gentil · October 2019

Bonjour à tous
J'ai une petite question concernant la division euclidienne des polynômes.

Pouvez-vous me donner un exemple élémentaire sur un anneau $A$, de polynômes dans $A[X]$ tels que $P = QD+R = Q'D+R'$ avec $\deg(R)$ et $\deg(R')< \deg(D)$ mais $Q',R'$ distinct de $Q,R$.

Je vous remercie d'avance !

EDIT. Je précise que je parle d'anneau commutatif et unitaire.

Magnolia · October 2019

Bonjour

Ce n'est pas un anneau de polynômes mais ça décrit bien la situation.

Ici

Amathoué · October 2019

Pourquoi pas tout simplement $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[X]$, ou tout anneau $A[X]$ non factoriel, ou non principal...

Poirot · October 2019

Si tu prends $A$ non intègre, $a, b \in A$ non nuls tels que $ab=0$ alors on peut écrire deux divisions euclidiennes du polynôme $0$ par le polynôme $a$ : $0=0 \times a + 0$ ou $0=a \times b + 0$.

Gentil · October 2019

Bonjour Poirot,

Merci beaucoup pour votre réponse.

PS. Ma question portait sur un exemple élémentaire de polynômes sur un anneau vérifiant une condition donnée, c'est rigolo que personne ne m'ait donné d'exemple.