Exercice de L2
dans Algèbre
Bonjour à tous, je viens de rentrer en L2 de maths et je suis bloqué sur la question b de cet exercice.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance.
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Réponses
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance.
[Ne pas ouvrir une nouvelle discussion avec la même question, surtout quand une réponse a déjà été apportée à la première ! AD]
prends un $a\in G$ tel que $aH \in G/H$ génère un sous-groupe propre,
$<H,a>$ est un sous-groupe de $G$
et $<H,a>/H =<H,aH>= <aH>$ donc $<H,a> \ne G$ et $H$ n'est pas maximal.
Supposons par exemple $H$ sous groupe distingué tel que $G/H$ contienne un sous-groupe strict $J\neq\{e\}$.
Alors $K = J \times H$ est un sous-groupe strict de $G$, qui contient $H$ strictement.
Reste à voir que tout groupe infini, ou bien d'ordre composé (pas premier, donc) admet un sous-groupe strict $J$.
Remarque : on ne demande pas que $K$ soit distingué.