Principe d'inclusion-exclusion
dans Algèbre
Bonjour à tous,
S'il vous plaît, sur la page suivante : http://www.les-mathematiques.net/e/p/b/node2.php , en y regardant la démonstration du théorème : $ 2.7 $, il est dit que : $ \displaystyle \sum_{ C \subset B } g(C) F(A,C) = g(A) $. Pouvez m'expliquez pourquoi ?
Merci d'avance.
S'il vous plaît, sur la page suivante : http://www.les-mathematiques.net/e/p/b/node2.php , en y regardant la démonstration du théorème : $ 2.7 $, il est dit que : $ \displaystyle \sum_{ C \subset B } g(C) F(A,C) = g(A) $. Pouvez m'expliquez pourquoi ?
Merci d'avance.
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Réponses
qui fait référence au raisonnement juste au-dessus
Quand on arrive à un tel niveau de flemmardise, il ne faut pas s'étonner de ne pas comprendre des cours élémentaires !
Si on passe à la proposition suivante sur ce meme lien ( Proposition Nombre de fonctions surjectives ), il est dit que $ f(A) = \displaystyle \sum_{ B \subset A } g(B) $ avec :
- $ f(A) = |A|^n $ est le nombre de fonctions de $ E $ vers $ A $.
- $ g(B) $ est le nombre de fonctions surjectives de $ E $ vers $ B $.
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.
Pour le sens : $ \displaystyle \bigcup_{ B \subset A } \mathrm{Surj} ( E, B ) \subset A^E $ ( C'est trivial ).
Pour la réciproque : $ A^E \subset \displaystyle \bigcup_{ B \subset A } \mathrm{Surj} ( E, B ) $ :
Soit $ f \in A^E $ :
Alors : $ \exists B \subset A $ tel que : $ \mathrm{im} f = B $.
Par conséquent : $ f \in \mathrm{Surj} ( E, B ) $.
D'où : $ A^E \subset \displaystyle \bigcup_{ B \subset A } \mathrm{Surj} ( E, B ) $ ?
CQFD.
Dans la suite du même paragraphe, on dit que : $ g(F) = \displaystyle \sum_{ B \subset F } (-1)^{| F \backslash B |} |B|^n = \displaystyle \sum_{ k = 0 }^p C_{p}^k (-1)^{p-k} k^n $. Comment arrive-t-on à cette dernière égalité ? Il faut pour cela justifier pourquoi : $ |B|^n = C_{p}^k k^n $. Pourquoi il y a ça ? D'où sort $ C_p^k $ ?
Merci d'avance.