Crochet de Lie
Salut. Je me suis bloqué dans ces 2 questions.
J'avais montré avant juste la relation de Jacobi et que si [u,v] = u alors u est nilpotente, et on me demande de prouver que si w n'est pas inversible alors il existe un vecteur propre commun.
J'ai proposé d'étudier la restriction sur ker(w), et de trouver un vecteur propre commun entre u et v dans ker (w) ... est-ce la réponse demandée ?!
Pour la (b) je suis passé à la trace pour prouver que w n'est pas inversible, mais je n'ai pas pu savoir déduire. Merci d'avance.
Cordialement.
[Même dans le titre, Sophus Lie (1842-1899) prend toujours une majuscule. AD]
J'avais montré avant juste la relation de Jacobi et que si [u,v] = u alors u est nilpotente, et on me demande de prouver que si w n'est pas inversible alors il existe un vecteur propre commun.
J'ai proposé d'étudier la restriction sur ker(w), et de trouver un vecteur propre commun entre u et v dans ker (w) ... est-ce la réponse demandée ?!
Pour la (b) je suis passé à la trace pour prouver que w n'est pas inversible, mais je n'ai pas pu savoir déduire. Merci d'avance.
Cordialement.
[Même dans le titre, Sophus Lie (1842-1899) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
$[u,w]=[v,w]=0$ dit que $u,w$ et $v,w$ commutent, donc $u$ et $v$ envoient $\ker(w)$ vers $\ker(w)$, soit $u^*,v^*$ les endomorphismes correspondant.
$[u,v]=w$ nous dit que $[u^*,v^*]=0$ commutent.
Si $E$ est un espace vectoriel complexe alors $\det(v^*-tI)$ a une racine $r$.
$u^{**} \in End(\ker(v^*-rI))$ a un vecteur propre $a$ qui est aussi un vecteur propre de $v$ et $w$.
Est-ce que tu as lu "$[u,v]=uv-vu$ est le commutateur sur $End(E)$ où $E$ est un ev. de dimension finie" dans la question de départ ?
Par ailleurs je pense que tu sais très bien ce qu'il faut pour que des matrices soient trigonalisables dans la même base et je trouve ça pas cool que tu ne donnes aucune indication là dessus.
Et je repose ma question : "Le commutateur sur l'algèbre des endomorphismes de $E$ est-il un crochet de Lie ?". Si je pose cette question, c'est parce que je suis surpris par ton affirmation "Ce n'est pas un crochet de Lie".
Tu refuses d'expliquer cette affirmation, tant pis.