Faisceau $O(d)$ sur $\Bbb{P}^n$

Je n'ai pas trop le temps mais :

$O(d)$ c'est un faisceau donc il faut penser "qu'est ce que c'est $\mathcal O(d)(U)$" si $U$ est un ouvert ? La réponse est $\mathcal O(d)(U) = \{f/g \mid \text{ f,g sont homogènes et } \deg(f) = \deg(g) + d, Z(g) \cap U = \emptyset \}$. En particulier $\mathcal O(d)(\Bbb P^n)$ s'identifie avec des polynômes de degré $d$.

Oui tu peux voir ça comme des "fonctions généralisées". C'est presque aussi bien que des fonctions. Une fonction dans ce langage là c'est une section de $\mathcal O_{\Bbb P^n}$ mais tu sais qu'il n'existe pas de fonctions algébrique non-constante sur $\Bbb P^n$. Cependant si tu autorise $\mathcal O_{\Bbb P^n}$ à être remplacé par un fibré en droite $L$ alors l'ensemble des sections vers $L$ est bien-défini et peut-faire office de fonctions.

Pour que ça soit concret, une fois que tu as un fibré $L$ tu peux prendre une base de $H^0(\Bbb P^n, L)$ (l'espace des sections) et obtenir une application dans l'espace projectif. Par exemple si tu connais le plongement de Veronese c'est ça qui arrive avec $\mathcal O(d)$.


_______________________

Pour la deuxième question : si tu as $f \in Aut(X)$, alors tu peux définir $f_* \mathcal F$ par $f_*\mathcal F(U)$ qui est un autre faisceau. Mais je ne crois pas que tu obtiens une application $f : F \to F$ principalement parce que ça te donnerait une application $f_x : F_x \to F_x$ et ça, ça voudrait dire que $x$ est un point fixé de $f$.
En revanche pas de soucis, tu agis bien sur le groupe de Picard et sur les sections globales (ou plus généralement sur les ouverts $f$-invariants) donc une partie de ce que tu as écris est juste, mais je ne pense pas que tu obtiens une action sur le faisceau. Dis de manière plus formelle je ne crois pas qu'il existe une application canonique $Aut(X) \to Hom_{Faisceaux}(F,F)$.

Pour la seconde question, tout automorphisme de $X$ te donne un isomorphisme entre $\mathcal{F}$ et $f^*\mathcal{F}$ ou $f_*\mathcal{F}$.

$\def\F{\mathbb F}\def\C{\mathbb C}$C'est bien vrai que pour passer de $\C$ à un corps fini $\F_p$, il suffit de remplacer le symbole $\C$ par le symbole $\F_p$. C'est pas faux. Ci-dessous, je cherche les emm.rd.ments en prenant le degré nul dans le corps de base (pas si facile à réaliser sur $\C$)

[color=#000000]> p := 13 ;
> k := GF(p) ;
> P2<x0,x1,x2> := ProjectiveSpace(k,2) ;
> d := p ;
> X := RandomSmoothHyperSurface(P2, d) ;  // mézigue
> X ;
Scheme over GF(13) defined by
x0^12*x1 + 11*x0^8*x1^5 + 12*x0*x1^12 + 2*x0^5*x1*x2^7 + x2^13
> 
> ST := HypersurfaceTangentSheaf(X) ; // mézigue
> ST ;
Coherent sheaf on Scheme over GF(13) defined by
x0^12*x1 + 11*x0^8*x1^5 + 12*x0*x1^12 + 2*x0^5*x1*x2^7 + x2^13
> ok := IsIsomorphic(ST, Twist(StructureSheaf(X), 3-Degree(X))) ;
> ok ;
true
[/color]

J'ajoute un exemple (de bébé) en attaché (mais juste la première page). Mais peut-être que, du coup, cela va faire trop d'exemples ?

Pourquoi est-ce que $O_X(-1)$ est le fibré tautologique ? Parce qu'ils ont les mêmes faisceau de sections.
Si tu prends $f$ holomorphe sur $U$ ($U$ est $P^1$ privé de Edit: 0 et pas l'infini.), alors $f.1/x$ définit une fonction $f.1/x([x:y])=f.(1, y/x)$ qui définit une section du fibré tautologique sur $U$. En fait par définition une section algébrique du fibré sur $U$ c'est une fonction holomorphe $f$ telle que la section est donnée par $([x:y], f(y/x).(1, y/x))$, donc l'espace des sections est $O(U).1/x$. Bien sûr c'est vrai sur tout ouvert qui est le complémentaire d'un point.
Tu vois bien que le faisceau des sections holomorphes est le faisceau $O\otimes_{O_X}O_X(-1)$ (ici $O$ est le faisceau des fonctions holomorphes et $O_X$ celui des fonctions algébrique, mais en vrai on s'en fout, pour toute définition de fonction algébrique sur $P^1_C$, il est clair que les sections du fibré tautologique sur $U$ c'est l'ensemble des $[x:y]\mapsto ([x:y], f(y/x).(1, y/x))$ avec $f$ algébrique donc bien les sections de $O_X(-1)$ sur $U$).

Pour la relation avec les diviseurs c'est le fait qu'on prend $1/f$ (et pas $f$) qui te gène ? C'est dû à la convention dans Riemann-Roch, $O_X(D)=\{f \in K(X)\mid \mathrm{div}(f)\geq -D\}$ et pas $\geq D$.

J'essaie de donner des réponses (ou plus de détails) au reste dès que j'ai un moment.

"Ça devait être amusant (sincèrement) les cours de math avec Claude".

Je confirme : c'est tordant * !

* : sincèrement
...

$\def\P{\mathbb P}$ Hello,
J'interviens de nouveau pour dire des petites choses, voire en répéter certaines. Sorry, je vais parler un peu de moi.

1. (Bis) Les premières fois que j'ai vu l'opération de faisceautisation de Serre, $M \mapsto \widetilde M$ (sur la catégorie des modules gradués ...etc..), souvent accompagnée de twists, je me suis demandé d'où cela sortait. Et pourquoi les auteurs ne donnaient pas AUSSITOT d'exemple(s). Dit un peu autrement : pourquoi, sur ce terrain, les auteurs se comportent-ils grosso-modo de la même manière ?

Question 1 : suis je le seul à avoir subi cela (rappel : je ne suis pas géomètre mais algébriste, ceci explique peut-être cela ?)

Question 2 : ICI, pourquoi ne considère-t-on pas d'exemples ? D'exemples pertinents bien entendu. Pas en partant au pif d'un module gradué mais en partant de la géométrie et en essayant de réaliser tel faisceau connu sur $\P^n$ (par exemple) sous la forme $\widetilde M$. On pourrait s'amuser (sic), sur ces exemples, à déterminer le module des sections ...etc.. Pourquoi est ce que nous ne le faisons pas ?

2. Là, où cela a commencé à se décanter chez moi, c'est en échangeant (par mails) avec Arrondo (qui est un géomètre) sur les exemples et/ou exercices du chapitre 17 (Vector Bundles) http://www.mat.ucm.es/~arrondo/projvar.pdf. En voulant traiter un exercice, je n'avais pas tenu compte d'un twist et je trouvais des matrices de transition erronées entre deux ouverts élémentaires $U_i, U_j$ de $\P^n$. Arrondo m'a expliqué cet exercice. Et j'ai compris l'impact sur les systèmes de transition. J'ai essayé d'en parler ici, mais bof.

Arrondo m'a également détaillé d'autres exemples ou exercices de son chapitre 17. Mais en voulant en faire plus que ce je demandais, il s'est également trompé dans un twist. Cela m'a rassuré.
Je lui avais avoué d'emblée que je ne comprenais pas grand chose à Hartshorne. Et, ce qui m'a rassuré aussi chez lui, c'est qu'il m'a dit que c'était également son cas (je ne crois pas qu'il ait dit cela pour me faire plaisir).

3. Cela a continué à se décanter quand j'ai contacté les implémenteurs en magma du chapitre ``Coherent Sheafs''. J'avais décelé des anomalies. Pour comprendre, il faut savoir que le module gradué $M$ qui encode le faisceau n'est pas unique et qu'il intervient via $\bigoplus_{d \ge d_0} M_d$. En passant, chez Hartshorne, on peut regretter que cette équivalence sur les modules gradués (``isomorphie graduée à partir d'un certain rang'') figure seulement en exercice (exercice 5.9 chap II, p. 125). Et qu'elle intervienne avant l'exercice 5.10 qui est plus simple (car portant sur les idéaux). Certes, une fois que l'on a entendu parler ce cette histoire d'équivalence , on la trouve un peu partout.

Et il arrive parfois qu'un certain module $M$ soit le meilleur à encoder tel faisceau. Pour $\P^n$ par exemple, dont je note $S = k[x_0, \cdots, x_n]$ l'anneau des coordonnées homogènes, $M$ est le meilleur si et seulement si la profondeur de $S_+$ sur $M$ est $\ge 2$. En programmation, quand on tient le meilleur après une étude mathématique, on arme ce renseignement dans le faisceau. Ce qui empêche de faire des calculs inutiles de saturation, indispensables lors de certains calculs cohomologiques, de séries d'Hilbert-Poincaré ...etc..

Mais quand on décrète qu'un tel est le meilleur, il ne faut pas se louper. Et c'est arrivé chez les implémenteurs : pour le fibré tangent à $\P^n$, le meilleur module est $S(1)^{n+1}/\langle x\rangle$ avec $x = \sum_i x_i e_i$. SAUF pour $n = 1$ : le meilleur est $S(2)$, et pas $S(1)^2/\langle x_0e_0 + x_1e_1\rangle$.
Désolé d'être technique, mais la détermination du module des sections demande la plus grande précision.

4. Autre chose (rien à voir). Chez Harshorne, que je comprends pas la plupart du temps, le cadre est très très général : schémas, ...etc.. Mais tiens, bizarrement le cadre du théorème 8.15 en attaché (désolé pour la qualité du scan) nécessite un corps algébriquement clos. Idem pour les résultats de la page suivante. Bizarre, non ? Est ce que quelqu'un peut m'expliquer le pourquoi ?

5. Est ce que ceux qui sont du métier peuvent comprendre ce que les autres, étrangers à la discipline, ne comprennent pas ?

6. Est ce que tout cela ne sous-entend pas la chose suivante : si tu n'es pas du métier, passe ton chemin, c'est pas pour toi ? Je termine par une anecdote malheureusement véridique. Un collègue m'avait avoué une fois que, lorsqu'il écrivait un article, il faisait en sorte dans les dix premières lignes (introduction) de mettre le paquet de manière à ce qu'un non spécialiste ne puisse pas comprendre et du coup passe son chemin.

$\def\P{\mathbb P}\def\cT{\mathcal T}\def\M{\mathbb M}\def\GL{\text{GL}}$@Reuns

1. Non, l'espace tangent à $\P^n$ en un point $p = k.x$ ($x \in k^{n+1} \setminus \{0\}$) n'est pas $k^{n+1}/k.x$ mais $L_k(k.x, k^{n+1}/k.x)$ où $L_k(\text{truc}, \text{machin})$ désigne l'espace vectoriel des applications $k$-linéaires entres les $k$-espaces vectoriels $\text{truc}$ et $\text{machin}$. Ce n'est pas du tout la même chose. On pourrait avoir envie de dire que $L_k(k.x, k^{n+1}/k.x) \simeq k^{n+1}/k.x$, ce qui est vrai car $k.x$ est de dimension 1. Mais l'isomorphisme n'est pas canonique : il utilise $x$ !! Il faut absolument cogiter cette histoire. La formulation intrinsèque, sans choix de $x$ tel que $p = k.x$, est
$$
\text{T}_p(\P^n) = L_k(p, k^{n+1}/p)
$$ 2. Je ne peux pas me permettre de répondre aux multiples questions pour plusieurs raisons : cela me prend beaucoup trop de temps (parfois 1 ou 2 jours pour analyser le post de la personne qui questionne). De plus mon point de vue est algébrique, et en général, la communication entre algébristes et géomètres n'est pas toujours facile.

3. Je t'attache quand même un truc où je considère mon exemple fétiche $S(1)^{n+1} / \langle x\rangle$ avec $n = 2$. Je ne sais pas si tu vas accrocher. Tu peux laisser tomber les histoires de profondeur à la page 2 et Auslander-Buchsbaum gradué. Il y a un ``tu'' qui ne s'adresse pas à toi mais à un lecteur de l'époque. Au cas où tu accrocherais, je pourrais attacher une autre note pour te montrer l'algébrisation du fibré tangent $\cT$ à $\P^n$. C'est très très concret pour moi. Cette algébrisation fournit le module des sections de $\cT$ sous la forme d'une surjection de noyau $k.\text{I}_{n+1}$ :
$$
\M_{n+1}(k) \twoheadrightarrow H^0(\P^n_k, \cT)
$$A gauche, il s'agit des matrices $(n+1) \times (n+1)$, ce qui fait par exemple que $\dim H^0(\P^n_k, \cT) = (n+1)^2 - 1$. Ce formalisme algébrique (le fameux $M \mapsto \widetilde M$ de Serre, un truc de dingue) fait qu'ici tu peux tout calculer sur la section $s$ image de la matrice $A$. Par exemple, le lieu des zéros de $s$ sous forme d'intersection de quadriques, en lien avec les sous-espaces propres de $A$, le polynôme minimal, caractéristique ...etc...

On peut même se permettre de retrouver une instance élémentaire du théorème de Borel-Weil-Bott en faisant agir $\GL_{n+1}$ sur le binz : la représentation obtenue sur $H^0(\P^n, \cT)$ est encodée par la partition $\lambda = (2,1^{n-1})$ et débarquent les $(n+1)^2 - 1$ tableaux de Young de forme $\lambda$ à valeurs dans $\{1..n\}$. Bref, en un certain sens, c'est combinatoire et on s'amuse bien. Je m'amuse bien, je veux dire.

Et comme le module $S(1)^{n+1} / \langle x\rangle$ qui encode $\cT$ est extra-bon pour $n \ge 2$, pour le même prix tu attrapes $H^0\big(\P^n_k, \cT(d)\big)$. Le fait qu'il soit extra-bon est une propriété élémentaire du complexe de Kozsul de $(x_0, \cdots, x_n)$. Sur n'importe quel anneau de base. Tu devrais te douter, si tu programmes un peu, que dans ces histoires, je n'utilise jamais à la base un corps algébriquement clos (évident) et je n'utilise que des schémas (évident aussi que l'on ne peut PAS utiliser autre chose que des schémas).

$\def\P{\mathbb P}\def\L{\text{L}}\def\cT{\mathcal T}$Bientôt la fin de la semaine, j'ai envie de me détendre, je fais le guignol comme dirait quelqu'un qui est en mode montagne (le veinard).
C'est quoi ci-dessous ?

[color=#000000]> A := JordanMatrix([2,3], [1,-1]) ;
> A ;
[ 1  1  0  0  0]
[ 0  1  0  0  0]
[ 0  0 -1  1  0]
[ 0  0  0 -1  1]
[ 0  0  0  0 -1]
[/color]

Une matrice $5 \times 5$ avec deux blocs de Jordan de tailles $2$ et $3$. Mais c'est plus que cela ici : $A$ représente une section globale du fibré tangent à $\P^4$; notons là $s \in H^0(\P^4, \cT)$. Le $4$, c'est $5-1$.

Et on en fait quoi de cette section ? On peut l'évaluer en un point $p$ de $\P^4$ (une droite de $k^5$) et cela doit donner un habitant du tangent $T_p(\P^4) = \L_k(p, k^5/p)$, cf ce matin. Comment ? On restreint $A : k^5 \to k^5$ (à la source) à la droite $p$ et à l'arrivée, on compose par la projection $k^5 \to k^5/p$. Cela donne bien un vecteur tangent en $p$.

Et quand est ce que $p = k.\xi$ est un zéro de la section $s$ représentée par $A$ ? Ben, quand à l'arrivée cela donne $0$ dans $k^5/p$ i.e. quand $A.\xi$ est multiple de $\xi$. Bilan : $p$ est un zéro de $s$ si les mineurs $2 \times 2$ de $(\xi, A.\xi)$ sont nuls, ce que j'écris symboliquement $\xi \wedge A.\xi = 0$. Bien sûr, c'est indépendant du vecteur directeur $\xi$ choisi pour $p$.

Et $k$, c'est qui comme corps de base ? Je vais prendre mon préféré : $k =\Z$. Et faire déterminer le lieu des zéros de $s$

[color=#000000]> Z := IntegerRing() ;
> P4<x0,x1,x2,x3,x4> := ProjectiveSpace(Z,4) ;      
> 
> X := ZeroLocus(A, P4) ;                     
> X ;
Scheme over Integer Ring defined by
-x4^2,
-x3*x4,
-x3^2 + x2*x4,
-2*x1*x4,
-2*x1*x3 + x1*x4,
-2*x1*x2 + x1*x3,
-2*x0*x4 - x1*x4,
-2*x0*x3 - x1*x3 + x0*x4,
-2*x0*x2 - x1*x2 + x0*x3,
-x1^2
[/color]

Tiens, un schéma défini sur $\Z$ par des quadriques, en nombre $n(n+1)/2 = 10$ où $n = 4$.

La matrice $A$ n'a pas été choisie n'importe comment. Voici deux points de $X$ correspondants aux deux vecteurs propres de $A$

[color=#000000]> S := Simplex(P4)[1..5] ;
> S ;
[ (1 : 0 : 0 : 0 : 0), (0 : 1 : 0 : 0 : 0), (0 : 0 : 1 : 0 : 0), (0 : 0 : 0 : 1 : 0), (0 : 0 : 0 : 0 : 1) ]
> p0 := S[1] ;
> p1 := S[3] ;
> p0 in X ;
true (1 : 0 : 0 : 0 : 0)
> p1 in X ;
true (0 : 0 : 1 : 0 : 0)
[/color]

On va examiner les multiplicités des points dans $X$. Mais là faut pas charrier, faut se mettre sur un corps. Je vais choisir $k = \Q$.

[color=#000000]
> k := RationalField() ;
> Xk := BaseChange(X,k) ;
> Sk := Simplex(AmbientSpace(Xk))[1..5] ;
> p0 := Sk[1] ;                          
> p1 := Sk[3] ;
> 
> Dimension(Xk) ;
0
> Degree(Xk) ;
5
> 
> Multiplicity(Xk,p0) ;
2
> Multiplicity(Xk,p1) ;
3
[/color]

C'est pas que formel le truc $M \mapsto \widetilde M$ de Serre.

Rien à voir. Y'a pas que le fibré tangent à $\P^n$ dans la vie. Un exercice du chapitre 17 d'Arrondo dont j'ai déjà parlé.

$\def\P{\mathbb P}\def\F{\mathbb F}$Salut Goleon

Je croyais que tu étais en mode montagne ? Ben, heureusement que $\P^n$ est défini sur $\Z$, sinon on serait mal, très mal. Et c'est bien mieux que cela car il y a un foncteur ``local'' (au sens des recollements) $R \mapsto \P^n(R)$ sur la catégorie des anneaux commutatifs. Je parle de $\P^n$ et tout le fourbi qui va avec. En passant, personne n'est obligé de faire dans l'effectif ou le calcul formel, mais je ne comprends pas comment on peut imaginer ``qu'en machine'', il y ait autre chose que des schémas (des équations, pour faire simple). Bref.

Pendant que j'y pense, peut-être que le Introduction to projective geometry d'Arrondo http://www.mat.ucm.es/~arrondo/projvar.pdf. pourrait t'intéresser. Note que dans le titre, il y a INTRODUCTION. Et je t'assure qu'il sait parler aux enfants.

J'attache l'exercice 17.2 par lequel j'ai commencé (très exactement le 19 Février 2010). Je n'ai pu le terminer que récemment à cause d'une maladresse dans l'énoncé. Je n'ai jamais pu en parler à l'auteur qui m'avait pas mal dépanné (de plus une suggestion venant de ma part, ignorant, cela la fichait mal).
Pour pouvoir recoller le binz qui est dans l'exercice en un bel objet, il est nécessaire que cet objet existe. Et cet objet (une fois que tout sera terminé) est une section (globale) du tangent à $\P^2$ ayant pour seuls zéros $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ et $(0:0:1)$. Pour qu'une telle section puisse exister il faut et il suffit, sur un anneau de base $R$, qu'il y ait un $\lambda \in R$ tel que $\lambda(\lambda-1)$ soit inversible. Ce n'est pas possible pour $R = \F_2$ ! Cela m'a bloqué pendant des années.

Bref, quelque chose ne va pas dans son énoncé : il a fait trop de forcing sur les matrices avec ce seul paramètre $\lambda$. Il a dû faire les calculs au brouillon et balancer le résultat dans son cours. Or il faut plus de mou.

Une preuve qu'il parle aux enfants : le coup du ``reader who does not feel comfortable with imaginary numbers'', alors qu'il est au chapitre 17 en train d'expliquer ``Vector bundles'' !