Initialisation récurrence et famille vide
Bonjour
Le lemme chinois dit que :
Soit $m\in\mathbf N$. Si $(a_1,\dots,a_m)$ est une famille d'éléments de $\mathbf Z$ deux à deux premiers entre eux alors le morphisme d'anneaux $\mathbf Z/(a_1\cdots a_m\mathbf Z)\longrightarrow \mathbf Z/a_1\mathbf Z\times\dots\times\mathbf Z/a_m\mathbf Z$ est un isomorphisme.
Pour la démonstration, j'aimerais faire une récurrence qui commence à $m=0$ mais je ne parviens à justifier entièrement l'initialisation. En effet, si $m=0$ alors la famille $(a_i)_{1\leq i\leq 0}$ est vide (qui est une famille d'éléments de $\mathbf Z$ deux à deux premiers entre eux) donc le produit $a_1\dots a_m=1 (\in\mathbf Z)$ donc $\mathbf Z/(a_1\dots a_m\mathbf Z)=\mathbf Z/\mathbf Z=\{\mathbf Z\}$. Toutefois, je ne vois pas comment se simplifie $\mathbf Z/a_1\mathbf Z\times\dots\times\mathbf Z/a_m\mathbf Z$ lorsque $m=0$. J'ai envie de dire que ce produit est égal à $\prod_{1\leq i\leq 0}\mathbf Z/a_i\mathbf Z=1$. Néanmoins, je ne sais pas à quel ensemble appartient ce "$1$".
PS : je sais que ma demande est un petit peu bizarre (commencer à $0$ alors que j'imagine qu'en pratique on n'utilise jamais ce lemme dans ce cas particulier).
Le lemme chinois dit que :
Soit $m\in\mathbf N$. Si $(a_1,\dots,a_m)$ est une famille d'éléments de $\mathbf Z$ deux à deux premiers entre eux alors le morphisme d'anneaux $\mathbf Z/(a_1\cdots a_m\mathbf Z)\longrightarrow \mathbf Z/a_1\mathbf Z\times\dots\times\mathbf Z/a_m\mathbf Z$ est un isomorphisme.
Pour la démonstration, j'aimerais faire une récurrence qui commence à $m=0$ mais je ne parviens à justifier entièrement l'initialisation. En effet, si $m=0$ alors la famille $(a_i)_{1\leq i\leq 0}$ est vide (qui est une famille d'éléments de $\mathbf Z$ deux à deux premiers entre eux) donc le produit $a_1\dots a_m=1 (\in\mathbf Z)$ donc $\mathbf Z/(a_1\dots a_m\mathbf Z)=\mathbf Z/\mathbf Z=\{\mathbf Z\}$. Toutefois, je ne vois pas comment se simplifie $\mathbf Z/a_1\mathbf Z\times\dots\times\mathbf Z/a_m\mathbf Z$ lorsque $m=0$. J'ai envie de dire que ce produit est égal à $\prod_{1\leq i\leq 0}\mathbf Z/a_i\mathbf Z=1$. Néanmoins, je ne sais pas à quel ensemble appartient ce "$1$".
PS : je sais que ma demande est un petit peu bizarre (commencer à $0$ alors que j'imagine qu'en pratique on n'utilise jamais ce lemme dans ce cas particulier).
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Réponses
Il faudrait déjà commencer par formaliser l'hypothèse. Comment traduis-tu "deux à deux premiers entre eux" pour 0 ou 1 élément ?
Cordialement.
NB : Pourquoi as-tu besoin de commencer à n=0 ?
$\forall (i,j)\in I^2, i\neq j\implies a_i\wedge a_j=1$.
Cela est vérifié pour $I=\emptyset$.
@gerard0, je n'en ai pas vraiment besoin, je souhaite simplement vérifier que d'un point de vue logique c'est vrai au rang $m=0$.
@Poirot : merci, je réfléchis et je reviens si je bloque.
Après on s'en fiche car on obtient un singleton qui est munissable d'une (unique) structure de groupe.