Noyau et forme quadratique

Bonjour
Je suis en train de faire les exercices corrigés, mais nous n'avons pas les mêmes réponses.

Par exemple pour la matrice : $$\begin{pmatrix}
+2 & +3 & -1\\
+3 & +1 & +2 \\
-1 & +2 & -3
\end{pmatrix}
$$ je trouve comme noyau le vecteur $(-1,1,1)$, le corrigé donne $(1,-1,1)$. De même pour la matrice : $$
\begin{pmatrix}
0 &0.5 & 1.5\\
0.5 & 0& 0 \\
1.5 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$ je trouve comme vecteur $(0,-3,1)$, le corrigé donne $(0,3,-1)$
Qui a raison ?

J'essaye aussi de comprendre comme réécrire la forme quadratique pour obtenir la somme des carrés. Dans le cas de la forme quadratique $\mathcal{Q}(x,y)$ - c'est trivial. En plus on nous donne les formules d'aide :
$X^2 + Xa = (X+ \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4}$
$XY + Xa_1 + Xa_2 = (X+ a_2 )(Y+ a_1 ) $
$XY = \frac{1}{4} (X+Y)^2 - \frac{1}{4}(X-Y)^2$
Les choses se corsent quand c'est une matrice plus grande que la matrice carrée. Si j'ai le résultats, je peux en déduire la méthode qui a été utilisée... mais ce n'est pas toujours clair et je ne suis pas sensée de le faire dans le sens inverse.

Par exemple une forme quadratique $\mathcal{Q}(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$ qu'on peut factoriser comme $(x+y+z)^2$. Mais d'après la correction il faut obtenir une somme des 3 carrés, par exemple $(x+y)^2 +(x+z)^2 +(y+z)^2$. La signature est $(3,0)$.
Ou encore $Q(x,y,z) = xy + 3xz$ donne $0.25(x+y+3z)^2 - 0.25(x-y-z)^2$. J'ai mis un moment pour reconstituer l'approche en m'appuyant sur www.bibmath.net

Je ne vois pas de système dans tout cela... ou quelque chose m'échappe.

En tâtonnant les exos, je me suis fixée le plan suivant :
1) écrire la forme quadratique sous forme matricielle (base canonique)
2) voir quel est le rang
3) en déduire le noyau
4) compte tenu du rang, décomposer en somme de carrés du rang correspondant (si de rang 3, faire la somme de 3 carrés).
Est-ce correct ?
Merci beaucoup à l'avance.