PSL(n,k) s'injecte dans PGL(n,k) ?

oui tout a fait car le sous-groupe par lequel on quotiente $SL(n,k)$ est l'intersection de $SL(n,k)$ avec le sous-groupe par lequel on quotiente
$GL(n,k)$.

Vincent

Je tente une démo à la main (sachant que le résultat est immédiat si l'on sait que quotienter par le noyau d'une application rend l'application quotient injective). J'ai un petit problème à la fin pour conclure.
Je note$Z_G$ le centre de $GL(E)$, $Z_S$ le centre de $SL(E)$ (qui sont les élements de SL(E) commutant avec SL(E) et non les éléments de Gl(E) commutant avec SL(E) d'où ma remarque à la fin)
$i:SL(E)\longrightarrow GL(E)$
$\pi:GL(E)\longrightarrow PL(E)$

$\phi=\pi o i$
en quotientant par $Z_S$ on obtient:

$\bar{\phi}:PSL(E)\longrightarrow PGL(E)$

$\bar{\phi}(\bar{x})=\bar{\phi}(\bar{y})\Rightarrow$

$\phi(xZ_S)=\phi(yZ_S)\Rightarrow$
$\pi(xZ_S)=\pi(yZ_S)\Rightarrow$
$xZ_S=yZ_SZ_G$

on pourrait conclure grâce à $Z_SZ_G=Z_S$
mais le problème c'est qu'en appliquant le déterminant on ne peut avoir égalité. En fait on a:
il est clair que $Z_S\subset Z_SZ_G$
pour l'inclusion inverse on a bien $Z_S ZG$ commute avec SL(E), mais rien ne garantit (déterminant) l'inclusion dans $SL(E)$.
Ai-je commis une erreur ou ai-je pris une mauvaise piste?

Abed:

1°)L'injection est claire à partir du moment où l'on sait (comme je l'ai dit plus haut) qu'on fabrique une injection en quotientant par le noyau, ce qui avec mes notations donne:
$x\in Ker \phi\Rightarrow \pi o i(x)=0 et x\in GSL(E)\Rightarrow x\in Z_G et \in GSL(E)\Rightarrow x\in Z_S$ donc $Ker \phi =Z_S$ Bref vu comme cela c'est quasiment immédiat

2°)l'injection n'est cependant pas triviale. Ce n'est pas parce que $A\subset B$ et $C \subset D$ que $A/C$ s'injecte dans $\subset C/D$

3°)Cela m'intéresserait d'avoir le point de vu de quelqu'un sur ce que j'ai écrit plus haut

4°)Quant à la bijection dans le cas algébriquement clos elle n'est pas complètement triviale non plus.

Abed

c'est plut fort que moi: "tuer" le noyau. Moi je suis "mort " de rire!

Quand je parle point de vue il s'agit de dire ce qui coince dans la fin de ma démo "à la main"