Radical de Jacobson

Salut à tous
on nous a demandé de voir la relation entre $Rad(A \times $ et $Rad(A)\times Rad(B)$ ($A$ et $B$ deux anneaux commutatifs), j'ai fait une démonstration et j'ai trouvé égalité. Je vous montre la preuve et dites-moi si c'est juste.

1) Soit $(a,b) \in A \times B $,
$(a,b) \in Rad(A \times $ SSI $(1,1) - (a,b)(x,y) \in U(A \times B )=U(A) \times U(B)$,
$(x,y) \in A \times B$ SSI $(1-ax,1-by) \in U(A) \times U(B) $ SSI $1-ax \in U(A)$ et $1-by \in U(B)$ SSI $a \in Rad(A)$ et $b \in Rad(B)$ SS $(a,b) \in Rad(A)\times Rad(B)$.

2) Similairement pour l'autre inclusion

Je vous remercie pour votre aide.