Sur un calcul de cohomologie de faisceaux

Merci pour ta réaction Lupulus;

Sur le premier point je comprends plus ou moins ça : tu prends une résolution $I^\bullet $ de $\mathcal F$, tu la moyennises selon $G$ (ça reste effectivement injectif), mais comment tu dis que c'est une résolution de $\mathcal F$ par contre (pour trouver un rapport avec $R\Gamma(X,\mathcal F)$ tout de même) ?

Pour le deuxième point j'ai envie de dire "au contraire" : c'est en caractéristique positive qu'apparaissent des subtilités avec $p\mid |G|$, donc je ne sais pas ce qui m'intéresse le plus (j'ai plus envie de m'entraîner sur tout ce qui est foncteurs dérivés d'un côté, et faisceaux de l'autre)
Par contre je crois que tu te trompes assez sévèrement juste ensuite : "comme $G$ est fini ce foncteur est exact" - pas du tout ! Si on était en caractéristique nulle alors on aurait Maschke et donc l'exactitude de $(-)^G$, mais en caractéristique positive (spécifiquement: divisant l'ordre de $G$) plein de trucs bizarres apparaissent et $(-)^G$ n'est pas exact : d'où la différence (en tout cas a priori) entre $R\Gamma(X/G, k)$ et $R\Gamma(X,k)^G$ (alors que là où je suis d'accord c'est que $\Gamma(X,k)^G = \Gamma(X/G, k)$ enfin il me semble : une fonction continue [ $k$ est discret] $ X\to k$ qui est $G$-invariante donne par définition une fonction continue $X/G\to k$)

Pour ton 3è point je suis intéressé, qu'appelles-tu faisceau équivariant ? Juste muni d'une action de $G$ ? Quelle compatibilité avec celle sur $X$ demande-t-on ?

Et ton dernier point c'est le même problème : tu voulais peut-être dire caractéristique nulle ?
(sinon, pour te convaincre considère le groupe cyclique d'ordre premier $p$, $C_p$ qui agit régulèriement sur $\mathbb F_p[C_p]$ et finalement le conoyau de l'inclusion des invariants $0\to \mathbb F_p[C_p]^{C_p}\to \mathbb F_p[C_p] \to \mathbb F_p[C_p]/\mathbb F_p[C_p]^{C_p}\to 0$ et prends les invariants, tu verras un truc drôle ;-) )

PS : en fait pour la suite spectrale je crois que je suis juste déçu parce que j'avais cru comprendre que des arguments de type catégorie dérivée permettaient d'éviter les suites spectrales, et je n'arrive pas à trouver d'exemple concret (non pas que je cherche beaucoup mais tout de même)

Oui je me disais bien, te connaissant :-D je suis d'accord pour la caractéristique $0$, effectivement ça simplifie l'affaire (mais tu m'accorderas que la cohomologie de l'espace projectif en caractéristique $0$...)
Je réfléchirai plus tard à ton affaire de faisceaux équivariants

Qu'est-ce que tu veux qu'on définisse ?/ tu veux un exemple ?

(Par ailleurs, plusieurs choses : 1- on ne peut pas tout redéfinir à chaque fois, sinon on ne va pas aller très loin, c'est l'intérêt des connaissances accumulées; 2- je suis nul en maths mais je sais définir les choses, il suffit de me le demander; 3- le but de mon post n'était pas de partager ni d'expliquer, mais comme je le répète, de poser des questions - si je peux après comprendre et à mon tour expliquer, mais si je ne comprends pas comment veux-tu que j'explique ? Et finalement 4- tu peux demander des définitions/des exemples plus gentiment, à ce que je sache il n'y a pas de raison d'être si agressif)

Bon pour la clarté je récapitule les arguments avancés et ce qu'il me reste à comprendre :

J'admets qu'on a une catégorie sympa de faisceaux équivariants $Sh_G(X)$ (je verrai plus tard ce que j'entends par là, les propriétés dont on a besoin apparaîtront), avec un foncteur d'oubli (au sens de fidèle) vers $Sh(X)$.

J'admets que cette catégorie a un foncteur sections globales $\Gamma(X,-) : Sh_G(X) \to G-\mathbf{Mod}$ qui a un adjoint à gauche $V\mapsto \underline{V}$ qui est exact, et telle que $\underline{k}$ a pour faisceau sous-jacent le faisceau constant $k$.

J'admets ensuite que le foncteur d'oubli $Sh_G(X) \to Sh(X)$ préserve les injectifs (deux remarques à ce sujet : ce n'est pas forcément nécessaire, cela dépend un peu de ce qu'on entend par $\Gamma(X,-)$ dans l'énoncé de l'exercice : si l'auteur pensait à des faisceaux équivariants et à leur notion de section, c'est pas nécessaire, s'il pensait aux sections en tant que faisceau il y a un besoin de quelque chose du genre; deuxièmement cette hypothèse est plutôt raisonnable puisqu'on s'attend à un adjoint à gauche de cet oubli qui pourrait être exact, en analogie avec la situation sans faisceaux)

Finalement, j'admets que j'ai un foncteur exact qui mérite de s'appeler $p_* : Sh_G(X)\to Sh(X/G)$ qui est tel que $p_*(\underline{k}) = k$ et pour tout $\mathcal F\in Sh_G(X)$, $\Gamma(X,\mathcal F)^G \cong \Gamma(X/G, p_*\mathcal F)$

Tout ça me semble plutôt raisonnable, mais il faudra que je me plonge dans les faisceaux équivariants pour y voir plus clair (je ne sais pas quand je le ferai)

Etant donné tout ça : $\Gamma(X,-)$ est adjoint à droite d'un foncteur exact, donc il préserve les injectifs; et les injectifs de $G-\mathbf{Mod}$ sont naturellement $(-)^G$-acycliques.
Donc $R\Gamma(X/G,p_*-) = R((-)^G\circ \Gamma(X,-)) = R(-)^G \circ R\Gamma(-,X) = R\hom_G(k, R\Gamma(X,-))$

Finalement, si $\underline k \to I^\bullet$ est une résolution injective dans $Sh_G(X)$, son oubli est aussi une résolution injective de $k$, et donc $R\Gamma(X,-)$ coïncide avec le truc usuel non équivariant (sauf qu'il a une action de $G$). Bon ici en fait je rajoute quand même une hypothèse (naturelle) de commutation : $\xymatrix{Sh_G(X) \ar[d] \ar[r] & G-\mathbf{Mod} \ar[d] \\ Sh(X) \ar[r] & k-\mathbf{Vect}}$

Alors avec la correction que j'ai essayé d'apporter je pourrais m'arrêter là, mais j'ai envie de rajouter un truc : $(-)^G$ et $(-)_G$ sont naturellement isomorphes sur la sous-catégorie des modules libres; en particulier si $G$ est un $p$-groupe ($p= char(k)$), comme $k[G]$ est local, $(-)^G$ et $(-)_G$ sont naturellement isomorphes sur la sous-catégorie des modules projectifs, donc (puisque sur $k[G]$, injectif = projectif) sur $R\Gamma(X,I^\bullet)$ ils vont coïncider, et donc on aura en fait un quasi-iso avec $R\Gamma(X,k)\otimes^L_{k[G]} k$.

Je ne suis pas sûr de comment gérer le cas où on a des modules projectifs non libres : je pensais que la naturalité y passait automatiquement mais je ne suis plus convaincu (en caractéristique $0$ ou même ne divisant pas $|G|$, comme on l'a dit à plusieurs reprises la question ne se pose pas puisque tout est exact et qu'on a un isomorphisme naturel donné par la norme $M_G\to M^G$)

Bon je me repose beaucoup sur des trucs "raisonnables" sur les faisceaux équivariants, faudra que je regarde quand même pour que ça ne repose pas sur du vide.

Un avis Lupulus ?