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Induction d'endomorphisme cyclique

Envoyé par Epsylon 
Induction d'endomorphisme cyclique
il y a quatre mois
Soit f un endomorphisme cyclique et x un vecteur de E tel que (x,f(x),...,fn-1(x)) est une base de E, et F un sous-espace de E de dimension p stable par f. On pose l'idéal { P € K[X] / P(f)(x) € F) engendré par Q. On pose g = Q(f) montrer que (g(x),g²(x),...,gp(x)) est une base de F, pour déduire que f induit un endomorphisme cyclique.
Cordialement.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
MrJ
Re: Induction d'endomorphisme cyclique
il y a quatre mois
Montre que la famille est libre, puis génératrice (en utilisant une division euclidienne par exemple).
Re: Induction d'endomorphisme cyclique
il y a quatre mois
Oui exactement , mais comment montrer que cette famille est libre ?!
Re: Induction d'endomorphisme cyclique
il y a quatre mois
Plus je lis la question, moins je comprends.

Il semble que $x\in F$. Est-ce une hypothèse manquante ?

Mais dans ce cas-là, est-ce que ça ne veut pas dire que $f(x) \in F$ ?

Du coup dans ton idéal $\{P\in\R[X], P(f)(x)\in F\}$, il y a $P(X) = X$.

D'ailleurs dans cet idéal, il y a aussi $P(X)=1$, puisque $x = f^0 (x)$.

D'ailleurs, si $F$ contient $x$ et est stable par $f$, vu que $x$ est un vecteur cyclique pour $f$, n'a-t-on pas $F = E$ ?!
Re: Induction d'endomorphisme cyclique
il y a quatre mois
j'ai rectifié la question . oui il contenait une érreur .
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