Matrices dont les colonnes sont orthonormées
Bonjour,
On considère l'ensemble $\mathcal E$ des matrices $A\in \mathcal M_{n,\, m}(\R)$ dont les colonnes forment une famille orthonormée pour le produit scalaire usuel, avec $m\leqslant n$..
Si on se donne des réels $a_1,\, \dots,\, a_n$ strictement positifs, peut-on trouver une matrice $A$ de $\mathcal E$ telle que $\Vert L_i \Vert=a_i$ pour tout $i$ ? (j'ai noté $L_i$ les lignes de la matrice $A$).
Le réponse est clairement non dans le cas général puisque tous les coefficients de la matrice sont plus petits que 1 en valeur absolue, donc on a $\Vert L_i \Vert\leqslant \sqrt m$.
Merci d'avance pour vos réponses, Michal
On considère l'ensemble $\mathcal E$ des matrices $A\in \mathcal M_{n,\, m}(\R)$ dont les colonnes forment une famille orthonormée pour le produit scalaire usuel, avec $m\leqslant n$..
Si on se donne des réels $a_1,\, \dots,\, a_n$ strictement positifs, peut-on trouver une matrice $A$ de $\mathcal E$ telle que $\Vert L_i \Vert=a_i$ pour tout $i$ ? (j'ai noté $L_i$ les lignes de la matrice $A$).
Le réponse est clairement non dans le cas général puisque tous les coefficients de la matrice sont plus petits que 1 en valeur absolue, donc on a $\Vert L_i \Vert\leqslant \sqrt m$.
Merci d'avance pour vos réponses, Michal
Réponses
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On trouve assez facilement une condition nécessaire sur les $a_i$. Si on considère la somme $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m A_{i,\, j}^2$ elle nous donne que $m=\sum_{i=1}^n \Vert L_i \Vert^2$ donc $\sum_{i=1}^n a_i^2=m$.
Reste à savoir, si cette condition est respectée, si on peut trouver une matrice $A$... -
Bonjour,
On a $\| L_i \| \leq 1$ pour tout $i$, car on peut compléter les colonnes en une base orthonormée. Donc, il faut rajouter la condition $a_i \leq 1$ pour tout $i$. En effet, sinon, c'est faux par exemple, pour $n=m$, on a forcément $\|L_i\|=1$ pour tout $i$, mais sans la condition $a_i \leq 1$, $\sum_{i=1}^n a_i^2=m=n$ n'implique pas $a_i=1$. -
En effet, les lignes d'une matrice carré, dont les colonnes forment une base orthonormée, forment aussi une base orthonormée.
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La question posée revient à se demander si on peut trouver une matrice $P\in \mathcal M_n(\R)$ orthogonale telle que les lignes "partielles" $L'_i$ (de la première à la $m$-ème colonne) soient de normes imposées
J'ai essayé de passer par la réduction d'une matrice orthogonale, mais sans succès
Personne ? -
Bonjour,
Pour ceux que ça intéresse, j'ai réussi à trouver la réponse à ma question... Ça se prouve par récurrence sur $n$ et c'est fait dans le livre de Prasolov (Problèmes en algèbre linéaire) p. 63 (théorème 9.5).
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