Groupe de Prüfer

Pour $p$ premier on définit le groupe $$\Z_{p^{\infty }}:=\left \{ z\in \mathbb{C}\mid \exists k\in \mathbb{N},\ z^{p^{k}}=1\right \}.

$$ Ici je veux montrer qu'il n'y a pas de sous-groupe propre maximal de $\Z_{p^{\infty }}$. C-à-d que pour $H$ un sous-groupe propre de $\Z_{p^{\infty }}$, tout sous-groupe $K$ de $\Z_{p^{\infty }}$ tel que $H\leq K\leq \Z_{p^{\infty }}$ implique $K = H$ ou $K = \Z_{p^{\infty }}.$ Pour montrer qu'il n'y en a pas donc il faut montrer que $K$ peut prendre une forme différente que ces deux dernières avec les mêmes premières conditions.

Ce que j'ai fait. On peut voir que l'ensemble peut se réécrire $$\Z_{p^{\infty }} = \left \{\exp(i\frac{2\pi l}{p^{n}})\mid l\in \Z,\ n\in \mathbb{N},\ \mathrm{pgcd}(l,p^{n})=1 \right \}

$$ (Le PGCD car si $p^n$ divise $l$ alors on se retrouve avec l'élément neutre qui est déjà inclus dans l'ensemble.)

Un sous-ensemble $H$ donc de cet ensemble s'écrit $$H= \left \{\exp(i\frac{2\pi l_{m}}{p^{U_{n}}})\mid l_m\in \mathbb{Z},\ U_n\in \mathbb{N},\ \mathrm{pgcd}(l_{m},p^{U_{n}})=1 \right \},
$$ où $U_n$ est [une] suite de $\mathbb{N}$ et $l_m$ est une suite de $\mathbb{Z}$.

Même chose pour $K$ sous-ensemble : $$K= \left \{\exp(i\frac{2\pi L_{m}}{p^{W_{n}}})\mid L_m\in \Z,\ W_n\in \mathbb{N},\ \mathrm
{pgcd}(L_{m},p^{W_{n}})=1 \right \},$$ où $W_n$ est [une] suite de $\mathbb{N}$ et $L_m$ est une suite de $\Z$.

Vu que $H$ est un sous-groupe de $K$ la stabilité de $H$ dans $K$ donne $\forall z_1,z_2 \in H,\ z_1z_2\in K\Leftrightarrow e^{i\frac{2\pi l_{m_1}}{p^{U_{n_1}}}}e^{i\frac{2\pi l_{m_2}}{p^{U_{n_2}}}}\in K\Leftrightarrow \exists n_3,\ (z_1z_2)^{p^{W_{n_3}}}=1$ , la dernière équivalence par définition d'être un sous-groupe de Prüfer pour $K$.

Si on regarde désormais seulement ce qui se passe au niveau des puissances, on remarque que $p^{(U_{n_1}+U_{n_2})} = p^{W_{n_3}}$ en d'autres termes, $\forall n_1, n_2,\ \exists n_3 ,\ \textrm{tel que} \, W_{n_3}= U_{n_1}+U_{n_2}$.

On peut alors poser la suite $$W_n = \begin{cases}
U_{n_1}+U_{n_2},& \forall n_1,n_2\in \mathbb{N},\quad \textrm{si n pair},\\

0,& \textrm{si n impair}.\end{cases}

$$ Cette suite définit donc l'ensemble $K$ tel que $K\neq H$ (car $W_n\neq U_n$) et $K\neq \Z_{p^{\infty }}:$ (car $W_n\neq n$).

Que pensez-vous de cette petite preuve ? La fin m'a l'air quand même un peu bizarre.