Courbes lisses dans $\mathbb P^2(1,2,3)$

$\def\P{\mathbb P}\def\ovK{\overline K}$@df D'abord, commencer par du $\P^2$ ordinaire. Soit $F \in K[X,Y,Z]$ un polynôme homogène de degré $d$ où $K$ est un corps (non supposé algébriquement clos). Je note $F'_X, F'_Y, F'_Z$ les dérivées partielles et $I = \langle F, F'_X, F'_Y, F'_Z\rangle$. Dans ce qui suit, bien distinguer $K$ et une clôture algébrique $\ovK$ de $K$.

1. Je suppose qu'il y a un exposant $e$ tel que $X^e, Y^e, Z^e \in I$. Quels sont, dans $\ovK \times \ovK \times \ovK$, les zéros communs à $F$ et à ses dérivées partielles?

2. Cette condition $X^e, Y^e, Z^e \in I$ passe l'envie à $F, F'_X, F'_Y, F'_Z$ d'avoir un zéro commun dans $\P^2(\ovK)$, n'est ce pas ? Réciproque ? I.e. si $F, F'_X, F'_Y, F'_Z$ n'ont pas de zéro commun dans $\P^2(\ovK)$, est ce qu'il n'y a pas un exposant $e$ tel que ... ? Peut-être pas si facile.

3. Pour illustrer cela, je suis prêt à prendre un exemple simple (toujours dans le cas du $\P^2$ ordinaire). Et toi ? Avec cet exemple simple auquel je pense, on verra débarquer $\Z$ et $\Z[1/\text{truc}]$.

$\def\P{\mathbb P}\def\A{\mathbb A}$
@df
Avec moi, il faut être plus précis. Tu parles ``pour le point 1 de contre-exemple''. Mais cela ne veut rien dire car je n'ai pas énoncé de résultat dans 1, j'ai juste posé une QUESTION. Et c'est quoi ce ``mais'' en gras ...etc... Et ce ``la réponse se situe probablement du côté de la clôture algébrique'' ??

Bilan : j'ai la flemme de développer mon exemple POUR l'INSTANT. De toutes façons, il s'agissait dans notre court échange de $\P^2$ ordinaire mais ici, ce qui m'intéresse, c'est du $\P^2$ avec poids.

Quelques mots-clés pour le $\P^2$ ordinaire : idéal inconvenant (traduction de irrelevant ideal), l'idéal $I$ est l'idéal du lieu singulier de $\{F = 0\}$. Ce lieu singulier est vide si et seulement si l'idéal $I$ contient une puissance de l'idéal inconvenant. De manière générale : le Nullstellensatz projectif. En faisant un effort pour distinguer les $K$-objets (les idéaux, les équations) et les objets de type points, au dessus de $\overline K$. Savoir faire des petites choses simples.

@Goleon Of course que ton calcul participe au binz. En ce qui concerne $\A^2/\mu_n$, je ne suis pas super-clair là dessus. J'ai simplement essayé de comprendre ce que raconte Miles Reid en haut de la page 5 de https://homepages.warwick.ac.uk/~masda/surf/more/grad.pdf. En tout cas, ce qui doit être vrai c'est la chose suivante.

$\bullet$ Soit $R$ un anneau commutatif tel que $n$ soit inversible dans $R$ et tel que $X^n - 1$ soit totalement scindé. On fait agir $\mu_n \subset R^\times$ sur $R[x,y]$ comme on le pense i.e. $\zeta.F(x,y) = F(\zeta x, \zeta y)$. Alors l'anneau des invariants est:
$$
R[x,y]^{\mu_n} = R[x^n, x^{n-1}y, \cdots, xy^{n-1}, y^n]
$$Tu prononces le mot ``représentabilité''. Peux tu m'en dire plus ?

$\bullet$ Dans cette histoire, je navigue à vue. Mon objectif est modeste, fort modeste : je veux juste comprendre ce que veut dire que $\{ F = 0\}$ est lisse dans $\P^2(a_1,a_2,a_3)$ lorsque $F \in K_a[X,Y,Z]$ est homogène en poids. Il me semble que je ne demande pas la lune ?

$\bullet$ Un truc qui me paraît assez dingue : Tim Hosgood in https://arxiv.org/abs/1604.02441. Au premier abord, cela m'a plu. Mais regarde la section 5 : il n'a jamais contrôlé quoi que ce soit sur un exemple ! Son théorème principal 5.3.7 (Degree genus-formula) p. 57 est faux, archi-faux. Il le compare au résultat donné par Fletcher mais n'a jamais fait la moindre vérification numérique : le résultat donné $g$ par sa formule est rarement un entier ! Note : le genre $g$ d'une courbe lisse de degré $d$ dans $\P^2(a_1,a_2,a_3)$ ne dépend que de $d$ et de $a = (a_1,a_2,a_3)$, pas de la courbe ; pense au $(d-1)(d-2)/2$ pour $\P^2(1,1,1)$.

Donc aucune confiance pour trouver chez lui la définition de lisse ou de point singulier : pour faire simple, on va dire qu'1 lemme sur 4 est faux dans sa section 5

$\def\Proj{\text{Proj}}\def\Spec{\text{Spec}}\def\A{\mathbb A}$@Goleon,

1. Je vais réfléchir à ton histoire de foncteur lisse (et lire ton post attentivement, je suis un laborieux).

2. La construction générale du schéma $\Proj$ d'un anneau gradué $S$, on la doit à Grothendieck (1961). De manière précise, c'est la section 2 de EGA2, à partir de la page 19 in http://www.numdam.org/article/PMIHES_1961__8__5_0.pdf. Cela manque d'exemples ! J'en ai vu un (sérieux) petit en Exemple 2.4.3, haut de la page 29 : $S = K[T_1,T_2]$ avec le degré ordinaire ! Il y est mentionné (je recopie) que les ouverts $D_+(T_1), D_+(T_2)$ sont des schémas affines canoniquement isomorphes à $K[T]$. Je suppose qu'il faut comprendre canoniquement isomorphes à $\Spec\ K[T]$ i.e. $\A^1_K$

3. Quant à T.H. et sa section 5, je ne te cache pas que j'ai mis le paquet. J'ai commencé (mail) par 2/3 petites questions innocentes et pour éviter qu'il me prenne pour un gros blaireau n'y connaissant que dalle (c'est pas faux), j'ai fait la chose suivante.

J'ai pris les poids $a = (1,2,3)$ et j'ai passé tous les $d$ dans l'intervalle $1+2+3 = 6 \le d \le 200$. En comparant sa formule du genre avec 4 autres formules. Je lui ai envoyé les résultats d'exécution (5 secondes, je crois que cela impressionne un tantinet, ce facteur).
Pour la moitié des $d$, son résultat était faux (et quand il est juste, c'est par hasard car j'ai beau être un gros blaireau en géométrie algébrique, je connais 2 ou 3 trucs de base). Il a alors admis qu'il y avait ``quelques problèmes'' (sic).

Salut Goleon,
Ce n'est pas une réponse, juste un pointeur : EGA4, préliminaires d'algèbre commutative, la section $\S 19$ est consacrée aux algèbres lisses, regarde juste la page 69 in http://www.numdam.org/article/PMIHES_1964__20__5_0.pdf (EGA4 est réparti en 4 volumes d'environ 250 pages, le dernier est plus gros).

Note I : on devrait dire formellement lisse car lisse nécessite des conditions de finitude (algèbre essentiellement de type fini).

Note II : Soit $R$ un anneau commutatif et $F \in R[X_1, \cdots, X_n]$. Il va y avoir une difficulté à caractériser $B = R[X_1, \cdots, X_n]/\langle F\rangle$ lisse because la ``variation dimensionnelle'' ($F = 0$ versus $F = X_1$ par exemple). C'est pour cela que l'on cause de la lissité de l'hypersurface $F = 0$, ce qui a pour effet de rigidifier la dimension à $n-1$ : merci au module des différentielles $\Omega_{B/R}$ qui est un module projectif de type fini quand $B/R$ est lisse, ce qui fait que l'on peut IMPOSER $\Omega_{B/R}$ de rang constant $n-1$. Cela doit être nébuleux (la lissité de $F = 0$ c'est pas pareil que la lissité de l'hypersurface $F = 0$).

Comment vas tu prendre en charge $F = 0$ avec ton histoire de foncteur lisse ?

PS : en vieillissant, je suis devenu vachement frileux (j'ai passé trop d'années à essayer de comprendre le AC 10 de Bourbaki)

$\def\P{\mathbb P}\def\G{\mathbb G}\def\EGA{\text{EGA IV}}\def\M{\mathbb M}$Salut Goleon

J'essaie de répondre à ton AVANT dernier post (je suis lent). Je vois bien que tu essaies de m'aider. Je ne sais pas si on va y arriver. Tant pis si cela s'éloigne de ... Ne pas oublier, qu'au départ, je voulais juste comprendre ce que signifie $x^7 + y^2z + xz^2 = 0$ est lisse dans $\P^2(1,2,3)_{(x:y:z)}$ et de genre 1, quelle audace. Je tiens cet exemple de Hosgood, footnote de la page 52, qui contenait initialement une coquille (note : toute courbe générique de $\P^2(1,2,3)$ de degré 7 est lisse de genre 1). J'ai quand même avancé du ``point de vue utilisateur''.

0. Une algèbre essentiellement de type fini c'est une localisation d'une algèbre de type fini. Mais je n'aurais pas dû te parler de cela car ce n'est pas la condition de finitude imposée par Grothendieck. Chez lui : lisse = de présentation finie + formellement lisse. Bourbaki dans AC X n'a pas été fichu de suivre cette définition et a seulement défini $B/A$ lisse quand $A$ est noethérien ! Un scandale.

Mais heureusement, il n'y a pas que Bourbaki (son AC X est pour moi une horreur). Voir par exemple, A New Look at Smoothness de Maltenfort, in https://core.ac.uk/download/pdf/81219042.pdf. Et aussi les gens de Stacks qui font quand même du bon boulot, cf par exemple https://stacks.math.columbia.edu/download/algebra.pdf, sections 136, 137 (ne pas charger leur book.pdf qui fait presque 7000 pages). Note : of course, je n'ai pas lu EGA IV mais j'arrive un peu à m'y retrouver (plus de 1000 pages) dans les définitions liées à l'algèbre commutative (il faut en principe le citer avec un indice du type $\EGA_1$ because les 4 volumes du IV et faire gaffe au chapitre 0 de IV constitué de préliminaires). Précision : des définitions en algèbre commutative.

Maltenfort (2002) a essayé de mettre de l'ordre (il ne cite même pas Bourbaki, et il a bien raison je trouve). C'était indispensable d'une part à cause de la terminologie des suiveurs. Et d'autre part du ``red heering'' (fausse piste) dans l'utilisation du Jacobien : c'est Mumford, dans The Red Book of Varieties and Schemes, p. 174 de mon exemplaire, qui utilise cette expression ``This result, although pretty, has historically been rather a red herring''.

1. Ton exemple de $X^4 - 1$ n'est pas assez pertinent car il est en en fait bien plus que lisse : il est étale (dans le cas où $4$ est inversible). De plus, malicieux que tu es, tu ne dis pas que tu utilises une itération de Newton. De manière générale, soit $F \in A[X]$ (une seule variable) séparable. Cela signifie $1 \in \langle F, F'\rangle$ i.e. il y a deux polynômes $U,V$ tels que $1 = UF + VF'$. On ne demande pas à $F$ d'être unitaire si bien que $B := A[X]/\langle F\rangle$ n'a aucune raison d'être libre sur $A$. On a en particulier que $F'(x)$ est inversible modulo $F$, d'inverse $V(x)$. Si bien que l'on peut pratiquer la variante habituelle de l'itération de Newton, $x' = x - F(x)/F'(x)$. Je veux dire :
$$
x' = x - V(x) F(x)
$$C'est un jeu d'enfant de vérifier que $F(x')$ est multiple de $F(x)^2$ donc $F(x')$ est deux fois plus nul que $F(x)$. Pas besoin de l'alibi $I$ idéal de carré nul. Et l'algèbre $B/A$ est bien plus que lisse : elle est étale i.e. le module des différentielles $\Omega_{B/A}$ est nul. Si bien que le relèvement est unique.

Bref étale ce n'est pas forcément pertinent pour illustrer lisse. Voici d'autres exemples qui me semblent plus mieux.

2. En supposant $2$ inversible dans l'anneau de base $R$, étude du schéma affine $V = \{X \in \M_n(R) \mid X^2 = 1\}$. Ce que je trouve intéressant dans cet exemple, c'est qu'a priori tu ne connais pas la dimension de $V$ (ce qui n'a d'ailleurs aucun sens car à la base, on ne dispose pas d'un corps). Pire: même en mettant un corps à la base, c'est un schéma qui n'est pas irréductible et dont les composantes ont des dimensions variables. Par exemple, avec un corps de caractéristique $0$ à la base, avec $n=4$, il y a 5 composantes de dimension $0,0,6,6,8$.
Mais le critère de lissité de Grothendieck se fiche éperdument de cela. Il s'agit de démontrer que la $R$-algèbre $B := R[X]/\langle X^2 = 1\rangle$ est lisse. Attention : ici $X$ est une matrice générique $n \times n$, donc un anneau de polynômes à $n^2$ variables quotienté par les $n^2$ équations qui expriment que $X^2 = 1$.
Le critère de Grothendieck n'en fait qu'une bouchée (en fait, une petite itération de Newton suffit, attention a priori on n'est pas en terrain commutatif). Et le module $\Omega_{B/R}$ est un module projectif de type fini dont le rang (qui est un polynôme) gouverne un peu les composantes irréductibles.

3. Un exemple d'école : la forme linéaire $F = \sum_{i=1}^n e_i X_i$ dans $A[X_1, \cdots, X_n]$ où chaque $e_i$ est un idempotent. Expliciter le certificat de lissité de $A[X]/\langle F\rangle$ sur $A$. C'est le coup de la forme linéaire qui hésite entre la forme linéaire nulle et la forme linéaire $X_1 + \cdots + X_n$. Plein de choses à apprendre (je trouve) en traitant ce petit exemple d'école.

4. $\P^n$. Tu exagères en disant que c'est compliqué. Pas tout. Il s'agit de démontrer que si $I$ est un idéal de $A$ vérifiant $I^2 = 0$, alors $\P^n(A) \to \P^n(A/I)$ est surjectif. On va faire bien plus que cela les mains dans les poches. Un $R$-point de $\P^n$ c'est un sous-module $E \subset R^{n+1}$, facteur direct et de rang 1. Si cela te fait peur, tu le réalises comme l'image d'un projecteur $(n+1) \times (n+1)$, disons $P$, $P^2 = P$, de rang 1. En fait on se fiche du rang 1, car l'itération de Newton donne la matrice $Q = 3P^2 - 2P^3$, qui est deux fois plus idempotente que $P$. Avec conservation du polynôme rang. C'est tout bénef !! J'attache un vieux machin.

5. $\G_{n,d}$. Du coup, sans toucher à une équation, on a que $\G_{n,d}$ est lisse sur $\Z$. Because le coup de $P \mapsto Q = 3P^2 - 2P^3$

6. Le schéma $\text{SL}_n$ est lisse sur $\Z$. C'est amusant je trouve, étant donnée une matrice $X \in \M_n(R)$ d'expliciter une matrice $Y\in \M_n(R)$, de la forme $Y = X - H$, avec $H$ polynôme en $X$ et $\det(X)$, telle que $\det(Y) - 1$ soit multiple de $\big(\det(X)-1\big)^2$. Exercice.

Bref, des exemples illustrant le lisse de Grothendieck, si on veut bien se casser un peu, il y en a à la pelle.

7. Comme c'est mon fil, j'y fais ce que je veux. Un peu d'histoire : La <<machine de Grothendieck>> se fonde-t-elle seulement sur des vocables métamathématiques ? Bourbaki et les catégories au cours des années cinquante de Ralf Krömer in http://www.numdam.org/article/RHM_2006__12_1_119_0.pdf. Je suis pas sûr de comprendre le titre (vocable ??)

$\def\GL{\text{GL}}\def\uX{\underline X}\def\RXT{R[\uX,T]}$ Je reviens sur ton post $\GL_n$ in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1884892,1887222#msg-1887222. Il y a quelque chose qui me chagrine, je ne sais pas quoi exactement : on va dire ``points versus morphismes''.

Je développe. Le foncteur $\GL_n$, on comprend tous ce que c'est : $R \mapsto \GL_n(R)$ où $R$ est un anneau commutatif. C'est clair. Mais comme je suis algébriste, je vais en faire un truc incompréhensible (j'exagère un tantinet). A l'anneau commutatif $R$, j'associe la $R$-algèbre $B$ de présentation finie que voici où $\uX$ dénote un paquet $(X_{ij})$ de $n^2$ indéterminées et $T$ une indéterminée pour rendre inversible le déterminant de $X$ ($\GL_n$ oblige) :
$$
B = {\RXT \over I} =_{\rm def} {\RXT \over \langle T\det(X) - 1\rangle}
$$Of course, le schéma suivant te dit quelque chose :
$$
\xymatrix {
&\RXT/I^2\ar@{->>}[d] \\
\RXT/I \ar@{.>}[ru]^{?} \ar[r]_{\text{Id}} & \RXT/I \\
}
$$Question précise : avec ce que tu as fait dans ton post sur $\GL_n$, est ce que tu avais vraiment construit un morphisme relèvement comme en pointillés ? En principe, il faudrait donner les images par ce relèvement de chaque $X_{ij} \bmod I$ et de $T \bmod I$. Cela se voit dans ton post ? Je pinaille ?

$\def\P{\mathbb P}\def\GL{\text{GL}}\def\uX{\underline X}\def\M{\text{M}}\def\Spec{\text{Spec}}\def\SL{\text{SL}}$Goleon,

0. Pourquoi j'ai pris $R$ au lieu de $\Z$ ? Parce que je ne suis pas clair. Cela devrait te rassurer (ou t'inquiéter). Ok pour $\Z$.

1. Dire que le foncteur $\GL_n$ est lisse, c'est la même chose que la $\Z$-algèbre $\Z[\uX,T]/\langle T\det(X) - 1\rangle$ est lisse. Ok ? Si oui, on est d'accord.

2. Je reviens une dernière fois (promis juré) sur ton post $\GL_n$ in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1884892,1887222#msg-1887222. Je pense qu'il y a une coquille : c'est $N' := P'(M')$ et pas $N' = P(M')$. Ok ?
A la première lecture, j'ai trouvé que le coup de prendre l'inverse de $M$ comme un polynôme en $M$ i.e. $P(M) \times M = 1$, c'était astucieux. Mais maintenant je pense que c'est inutile, cf le point suivant.

3. Je prends $\widetilde M \in \M_n(R)$ un relevé QUELCONQUE de $M \in M_n(R/I)$. Ainsi $\det(M)$ est inversible modulo $I$, donc modulo $I^2$ (cf un peu plus loin) et comme $I^2 = 0$, $M$ est inversible. Ok ?
Rappel : dans un anneau commutatif $A$, si $a \in A$ est inversible modulo $I$, il l'est modulo $I^2$. En effet, il existe $b \in A$ tel que $ab - 1 \in I$, d'où $(ab-1)^2 \in I^2$ c.a.d :
$$
a^2 b^2 - 2ab + 1 \in I^2 \qquad \text{ou encore}\qquad a(2b - ab^2) \equiv 1 \bmod I^2
$$Note : $2b-ab^2$, cela ressemble furieusement à ton $2N' - M'N'^2$.
Pendant que j'y suis : si $a$ est inversible modulo $I_1$ et modulo $I_2$, il l'est modulo $I_1I_2$ (no problemo)

3'. Pour $\SL_n$, je trouve qu'il faut en faire un peu plus. Mais c'est peut-être parce que je me complique la vie.

4. Je me permets d'utiliser lisse au lieu de formellement lisse comme a dit le monsieur. Mais ici, c'est licite because présentation finie. Note : chez le monsieur, lisse est défini dans EGA $IV_4$, p. 61, def 17.3.1 pour un morphisme entre deux schémas. Dans ce cadre : lisse = formellement lisse + localement de présentation finie. Localement de présentation finie est défini dans $IV_1$ en 1.4.2 page 230. Et en 1.4.6 p. 232, il figure qu'un un morphisme d'anneaux $A \to B$ est de présentation finie si et seulement si $\Spec(B) \to \Spec(A)$ est localement de présentation finie.

Toutes ces précisions au cas où il y aurait une descente de police sur le forum pour contrôle et tout le truc.

Prochain post : autour des 3 ouverts élémentaires de $\P^2(a_1,a_2,a_3)$.

$\def\P{\mathbb P}$Goleon
Ici je parle des 3 ouverts de $\P^2(a,b,c)_{(x:y:z)}$. J'utilise $a,b,c$ pour calmer les indices.

1. Lire ce qu'a écrit le monsieur dans EGA II, section $\S2$ de http://www.numdam.org/article/PMIHES_1961__8__5_0.pdf. En particulier à la page 26, le localisé d'un anneau $\N$-gradué $S$ en un élément homogène $f$ (ce localisé est un anneau $\Z$-gradué) et surtout sa composante homogène de degré $0$ (les ``fonctions''). Attention aux notations : $S_f$ pour le localisé versus $S_{(f)}$ pour la composante homogène de degré $0$ de ce localisé. La glace est mince.

2. On travaille avec $\Z$ à la base : $S = \Z[x,y,z]$ avec $x$ de poids $a$, $y$ de poids $b$, $z$ de poids $c$. Ce que l'on veut c'est l'anneau des fonctions de degré $0$ dont le dénominateur est une puissance de $z$ par exemple (on fera la même chose avec $x$ et $y$). Je suis entrain de causer de la $\Z$-algèbre de présentation finie dont le spec sera l'ouvert numéro $3$ ($3 \leftrightarrow z$). On est donc à la recherche des :
$$
{x^i y^j \over z^k} \qquad i,j,k \ge 0, \qquad ai + bj = ck \qquad\qquad (\heartsuit)
$$
C'est quoi ce machin $(\heartsuit)$ ? Réponse : un semi-groupe de $\N^2$, à savoir celui constitué des $(i,j) \in \N^2 $ tels que $ai + bj \equiv 0 \bmod c$. C'est pas n'importe quel semi-groupe : c'est l'intersection d'un réseau avec un cône rationnel. Donc ce semi-groupe admet un unique système fini minimal de générateurs (the so called Hilbert basis)

3. Je vais les obtenir de la manière suivante. Je vais chercher les $(i,j,k) \in \N \times \N \times \N$ vérifiant :
$$
ai + bj + (-c)k = 0 \qquad \text{pareil que les deux inéquations} \qquad ai + bj + (-c)k \ge 0 \quad \text{et} \quad ai + bj+ (-c)k \le 0
$$Il se trouve que je connais un peu les outils de la convexité algorithmique, théorie sur laquelle est monté le monde torique. Je vais fabriquer un cône rationnel via $2 + 3$ inégalités. Les deux premières c'est pour la forme linéaire $\ge 0$ et $\le 0$ et les 3 dernières pour les variables $\ge 0$ (PositiveQuadrant). Une fonction que j'ai mis 3 secondes à l'écrire (mais plusieurs heures pour y penser)

[color=#000000]L := ToricLattice(3) ;

Generateurs := function(a,b,c)	
  // a*i + b*j + (-c)*j = 0 avec i,j,k >= 0
  // a*i + b*j + (-c)*j = 0 <====>  a*i + b*j + (-c)*j   >= 0  et <= 0
  inequation := L ! [a,b,-c] ;
  C := ConeWithInequalities([inequation, -inequation]) meet PositiveQuadrant(Dual(L)) ;
  return HilbertBasis(C) ;
end function ;

a := 2 ; b := 3 ; c := 5 ;
Generateurs(b,c, a) ;
Generateurs(a,c, b) ;
Generateurs(a,b, c) ;
[/color]

Ce qui va donner : 3 générateurs pour les fractions à dénominateur une puissance de $x$, 4 générateurs pour les fractions à dénominateur une puissance de $y$, et enfin 3 générateurs pour les fractions à dénominateur une puissance de $z$.

[color=#000000]> Generateurs(b,c, a) ;
[
    (0, 2, 5),
    (1, 1, 4),   **  ICI ** 
    (2, 0, 3)
]
> Generateurs(a,c, b) ;
[
    (0, 3, 5),
    (1, 2, 4),
    (2, 1, 3),
    (3, 0, 2)
]
> Generateurs(a,b, c) ;
[
    (0, 5, 3),
    (1, 1, 1),
    (5, 0, 2)
]
[/color]

4. Maintenant, regarde bien l'encadré en rouge de ce matin. J'attache de nouveau. Regarde $X_0$ par exemple et divise les 3 générateurs du spec par la bonne puissance de $x_0$ c.a.d :
$$
x_1^2 / x_0^3 \leftrightarrow (2, 0, 3) \qquad x_1x_2 / x_0^4 \leftrightarrow (1, 1, 4) \qquad x_2^2 / x_0^5 \leftrightarrow (0, 2, 5)
$$Les triplets ce sont les $(i,j,k)$ de (ici) $x_1^i x_2^j / x_0^k$. Et compare avec le premier résultat où je mets ICI.

5. Of course, j'ai mis $\Z$ à la base, parce que $\P^2(a,b,c)$ c'est défini sur $\Z$. On est en 2019, faut peut-être arrêter les c.nneries avec $\C$ au prétexte que $\C$ algébriquement clos. Cela n'a aucun rapport avec la choucroute. Ne pas oublier que le monsieur, il a écrit cela en 1961, ce qui fait que 60 ans sont passés.

6. Regarde l'action chez l'auteur, action que j'ai encadrée en bleue. Il y a de la torsion par rapport au truc que je disais du genre $\C[x,y]^{\mu_n} = \C[x^n, x^{n-1} y, \cdots, y^n]$. J'essaierais d'expliquer demain cette histoire d'action car Hilbert basis des cônes rationnels et invariants par des sous-groupes finis de racines de l'unité, c'est kif-kif. J'avais oublié ce ``détail''.

$\def\P{\mathbb P}\def\Spec{\text{Spec}\ }\def\A{\mathbb A}\def\U{\mathbb U}$1. Je continue et précise cette histoire des 3 ouverts principaux de $\P^2(a,b,c)_{(x:y:z)}$. Sur les exemples, j'utiliserais $(a,b,c) = (2,3,5)$. Il s'agissait d'écrire chaque $\Z$-algèbre qui suit comme une $\Z$-algèbre de présentation finie (l'indice $0$ pour composante homogène de degré 0)
$$
\Z[x,y,z,x^{-1}]_0, \qquad\qquad \Z[x,y,z,y^{-1}]_0, \qquad \qquad \Z[x,y,z,z^{-1}]_0
$$L'ouvert principal $U_x$ est par définition $\Spec \Z[x,y,z,x^{-1}]_0$. Idem pour les deux autres ouverts $U_y$ et $U_z$.
J'ai modifié le code d'hier de manière à ne pas faire tourner les composantes ce qui assure une plus grande lisibilité des résultats d'excécution (je trouve).

[color=#000000]L := ToricLattice(3) ;

// Supposons par exemple WeightsSequenceWithASign = [a, -b, c] avec a,b,c entiers >= 1
// Alors AffinePatchGenerators retourne le systeme minimal de generateurs de la composante
// homogene de degre 0 : Z[x,y,z,y^-1]_0 ou poids(x) = a, poids(y) = b, poids(z) = c
// Programmation uniforme : on opere avec la sequence sans s'en occuper

AffinePatchGenerators := function(WeightsSequenceWithASign)
  assert #WeightsSequenceWithASign eq 3 ;
  // WeightsSequenceWithASign =	[alpha, beta, gamma] --> mu(i,j,k) = alpha*i + beta*j + gamma*k	
  // Cone : mu = 0 et i,j,k >= 0  i.e.	mu >= 0	 et mu <= 0 et  i,j,k >=	0
  mu := L ! WeightsSequenceWithASign ;
  C := ConeWithInequalities([mu, -mu]) meet PositiveQuadrant(Dual(L)) ;
  return HilbertBasis(C) ;
end function ;
[/color]

Ainsi :

[color=#000000]> a := 2 ; b := 3 ; c := 5 ;
> Gx := AffinePatchGenerators([-a,b,c]) ;
> Gx ;
[
    (3, 2, 0),  <-- u
    (4, 1, 1),  <-- v
    (5, 0, 2)   <-- w
]
> Kernel(Matrix(Gx)) ;
RSpace of degree 3, dimension 1 over Integer Ring
Echelonized basis:
( 1 -2  1)   <-- 2v = u+w
[/color]

a la signification
$$
\Z[x,y,z,x^{-1}]_0 = \Z[u,v,w] \quad \text{ avec }\quad u = y^2/x^3, \quad v = yz/x^4,\quad w=z^2/x^5 \quad \text{ et la relation} \quad v^2 = uw
$$Ce que je viens d'écrire est la version multiplicative des objets vectoriels que l'on voit plus haut. On a rempli le contrat en ce qui concerne l'aspect de présentation finie.
Pendant que j'y suis, je rappelle que dans l'histoire $y^\bullet z^\bullet/x^\bullet$, il y a un semi-groupe $\Gamma$ que je préfère placer maintenant dans $\N^3$ plutôt que dans $\N^2$. Ce semi-groupe $\Gamma$ est constitué des points entiers d'un cône strictement convexe $C$ (car $C$ est contenu dans $\R_+^3$ par définition) :
$$
\Gamma = \Z^3 \cap C = \N^3 \cap C
$$C'est cet aspect qui assure l'unicité du système générateur (au sens semi-groupe), minimal pour l'inclusion de $\Gamma$ (Hilbert-basis).
Idem lorsque l'on localise en $y$ et on prend la composante homogène de degré $0$. Ici $4$ générateurs et 2 relations.

[color=#000000]> Gy := AffinePatchGenerators([a,-b,c]) ;
> Gy ;
[
    (0, 5, 3),
    (1, 4, 2),
    (2, 3, 1),
    (3, 2, 0)
]
> Kernel(Matrix(Gy)) ;
RSpace of degree 4, dimension 2 over Integer Ring
Echelonized basis:
( 1  0 -3  2)
( 0  1 -2  1)
[/color]

Et enfin, pour le dernier ouvert $U_z$

[color=#000000]> Gz := AffinePatchGenerators([a,b,-c]) ;
> Gz ;
[
    (0, 5, 3),
    (1, 1, 1),
    (5, 0, 2)
]
> Kernel(Matrix(Gz)) ;
RSpace of degree 3, dimension 1 over Integer Ring
Echelonized basis:
( 1 -5  1)
[/color]

2. Plus géométriquement, si l'on veut. Considérons le morphisme (attention j'utilise ici $x,y$ pour les coordonnées des points).
$$
\phi : \A^2 \ni (x,y) \mapsto (x:y:1) \in \P^2(a,b,c)
$$On met l'action suivante sur $\A^2$ :
$$
\zeta . (x,y) = (\zeta^a x, \zeta^b y) \qquad \zeta \in \U_c= \mu_c \qquad \qquad \text{action que l'on note } \qquad {1 \over c}(a,b)
$$Il est alors facile de vérifier que $\phi$ est invariante par cette action. On obtient ainsi: $\displaystyle {{\A^2 \over {1 \over c}(a,b) } \simeq U_z}$.

Pour de vrai, on a le mécanisme d'évaluation en $z = 1$ :
$$
\xymatrix @C = 2.5cm {\Z[x,y,z,z^{-1}]_0 \ar[r]^-{\textstyle {z := 1}} & \Z[x,y]}
$$et on vérifie que l'image est $\Z[x,y]^{{1 \over c}(a,b)}$. J'exagère un tantinet car les racines de l'unité ne sont pas dans $\Z$ : on fera mieux la prochaine fois par utilisation du $d$-Veronese $S \mapsto S^{(d)}$ pour $S = \Z[x,y,z]$ et $d = a,b,c$.

3. Bas Edixhoven : c'est bien lui l'auteur des 4 pages mentionnées hier http://www.math.leidenuniv.nl/~edix/talks/2010/2010_04_12.pdf. On le trouve en cherchant à Bas Edixhoven home page et en sélectionnant Talks puis 2010 puis 2010 04 12.pdf. C'est une valeur sûre. Je suis étonné qu'il mentionne le fait qu'il n'a pas de référence concernant les weighted projective spaces (haut de la première page).

4. Mode polémique. Je n'ai jamais compris pourquoi les (petits) suiveurs du monsieur répétaient les dires du monsieur sans donner aucun exemple ou très peu. On va encore me dire que j'exagère. Devinette : d'où vient la définition attachée ? Noter le grand changement $R$ par rapport à $S$ du monsieur. Est ce que cela sera suivi d'exemples ? Pas vu. Mézalors à quoi cela servait de considérer un anneau gradué général au lieu de $K[x_0, \cdots, x_n]$ muni du degré total. Resucée de Grothendieck, quand tu me tiens.

Goleon,
Suite de mon post précédent : c'est évident. C'est la propriété d'unicité du relèvement des idempotents qui fait le job. Unicité au sens suivant : si $e_1, e_2$ sont deux idempotents modulo $I^2$, donc $e_k^2 \equiv e_k \bmod I^2$ pour $k = 1, 2$, alors
$$
e_1 \equiv e_2 \bmod I \quad \Longrightarrow\quad e_1 \equiv e_2 \bmod I^2
$$Cela se démontre facilement. Et découle en fait de la propriété : $X^2 - X=X(X-1)$ est séparable (pour faire snob, on dit étale).

Du coup, en gardant les notations de mon post précédent, si $e_j$ est le coefficient de $T^j$ dans $R_Q$ et $e'_j$ celui de $T^j$ dans $\widetilde {R_P}$, ce sont des idempotents modulo $I^2$ et comme ils sont égaux modulo $I$, ils le sont modulo $I^2$. Bref : $R_Q$ et $\widetilde {R_P}$ sont égaux modulo $I^2$, ce que l'on voulait.

On a un peu causé de (formellement) lisse (existence d'un relèvement) mais il n'y a pas que cela dans la vie. Il y a, pour une algèbre, la notion de formellement non ramifiée (existence d'au plus un relèvement) et formellement étale (existence et unicité d'un relèvement). Bien sûr, cela avait été prévu en long en large et en travers par le monsieur. Cf les premières définitions dans EGA $IV_1$, section 0-$\S19$.10, page 115 (0, parce qu'à cet endroit, on est dans les préliminaires du fameux chapitre 0). Ensuite, pour non ramifée et étale (sans le formellement), il faut aller voir dans le EGA $IV_4$, section $\S17$, p. 56

$\def\Proj{\text{Proj}}\def\P{\mathbb P}\def\uX{\underline X}\def\SL{\text{SL}}\def\Spec{\text{Spec}}$Salut Goleon

$\bullet$ 1. Ton post étale : OK. De manière plus générale, soit un anneau commutatif $A$ de base (désolé, je ne mets pas $B$ comme toi), $F_1, \cdots, F_n \in A[X_1, \cdots, X_n]$ $n$ polynômes en $n$ indéterminées (autant de polynômes que d'indéterminées), $B = A[X_1, \cdots, X_n]/\langle F_1, \cdots, F_n\rangle$.

a. On suppose que le jacobien du système $F = (F_1, \cdots, F_n)$ est inversible DANS $B$. Alors l'algèbre $B/A$ est étale. Etale c'est au sens officiel c.a.d. de présentation finie (c'est le cas ici) et existence/unicité du relèvement dans le contexte que tu sais. Tu vois un peu le truc ?

Pour info, je t'attache un dessin de notre choix de la matrice jacobienne. Il me semble dans le passé avoir vu des auteurs anglo-saxons prendre la transposée (et je crois même avoir vu un auteur à l'intérieur d'un même ouvrage mettre les deux versions !). Donc s'il y a $s$ polynômes et $n$ indéterminées, chez nous autres, la jacobienne va $A[\uX]^n \to A[\uX]^s $ (les indéterminées en colonne, les polynômes en ligne). C'est un détail mais un malentendu est si vite arrivé.

b. Le truc que j'avais trouvé dingue, c'est que l'on a une réciproque. On a mis longtemps à s'en persuader car on ne le voyait pas dans la littérature mais on a fini par le retrouver dans Stacks Project. Cette réciproque c'est la suivante : soit $B/A$ une algèbre étale (a fortiori de présentation finie, c'est dans la définition du monsieur). Alors $B/A$ est présentable comme dans le point a. J'attache l'énoncé plus précis avec la démonstration mais l'extrait n'est pas self-contained. En fait, ce n'est pas si difficile.

2. $\SL_n$ lisse : j'ai retrouvé mes billes. Peut-être que je prendrais le temps de faire un post. Mais j'ai une urgence en le point 3. Je ne sais pas si tu vas encore accepter de m'écouter : c'est de l'algèbre, promis juré.

3. $\P^2(a,b,c)$ : tu dis que tu n'en possèdes point de définition. Je pense pouvoir te comprendre. Ceci veut dire que quand tu vois un discours sur le fourbi $\Proj$ d'un anneau gradué, tu es septique. C'est cela ? Je crois pouvoir te comprendre. Et quand tu vois le fourbi $\Spec$, tu en penses quoi ?

Mais un anneau de polynômes, même avec des poids, tu vois ce que c'est, n'est ce pas ? Et si j'écris $\Z[x,y,z, y^{-1}]_0$, cela ne te fait pas peur non plus, je pense. Il ``faut'' absolument que je te montre quelque chose. Je peux ? Pas peur : c'est algébrique. Merci.

4. Quant à $\{ F = 0\}$ lisse (alors qu'on est toujours en malaise avec $\P^2(a,b,c)$), je vais poser la question à une personne que je connais. Tant pis, si je passe pour un c.n. Cela m'est arrivé un certain nombre de fois (de poser des questions à X ou Y) mais je dois y aller mollo pour ne pas être grillé à l'avenir.

Un post sur la 3 ?

$\def\Spec{\text{Spec}}\def\P{\mathbb P}$J'utilise les mêmes poids $x : 2$, $y: 3$, $z : 5$. Je m'intéresse à $U_y$, en fait surtout à $\Z[x,y,z, y^{-1}]_0$. Magma me donne
$$
\Z[x,y,z, y^{-1}]_0 = \Z[t,u,v,w] \qquad \hbox {avec} \qquad t = z^3/y^5, \quad u = xz^2/y^4, \quad v = x^2z/y^3,\quad w = x^3/y^2
$$Je n'ai pas de raison de ne pas le croire. Et d'ailleurs, cela va être confirmé d'une autre manière, cf plus loin.

[color=#000000]> Gy := AffinePatchGenerators([a,-b,c]) ;  // mézigue via Hilbert basis d'un cône rationnel strictement convexe
> Gy ;
[
    (0, 5, 3),   t <--> z^3/y^5
    (1, 4, 2),   u <--> xz^2/y^4
    (2, 3, 1),   v <--> x^2z/y^3
    (3, 2, 0)    w <--> x^3/y^2
]
[/color]

Mais maintenant, on a besoin de l'idéal des relateurs entre ces 4 monômes de $\Z[x,y^{\pm 1},z]$. Il ne faut pas rigoler avec cela car un un certain sens, c'est vital pour $\Spec\ \Z[x,y,z, y^{-1}]_0$. L'idéal $I$ des relateurs, c'est bien défini : le noyau d'un certain morphisme.
Et c'est là que j'ai commis une boulette et je suis impardonnable car je connais le truc (je l'ai même enseigné !). J'ai bêtement hier, avant-hier considéré les relations $\Z$-linéaires entre les 4 vecteurs

[color=#000000]> Kernel(Matrix(Gy)) ;
RSpace of degree 4, dimension 2 over Integer Ring
Echelonized basis:
( 1  0 -3  2)  ---> t + 2w = 3v
( 0  1 -2  1)  ---> u + w = 2v
[/color]

Ce qui conduit pour les fonctions aux relations $tw^2 = v^3$, $uw = v^2$. MAIS il y en a d'autres relations qui ne se déduisent pas de ces deux là (je pourrais te dire pourquoi plus tard car je dispose de notes d'enseignement).
Remarque : pour les 4 vecteurs,

[color=#000000]> t,u,v,w := Explode(Gy) ;
> assert 2*u eq v+t  and   v+u eq w+t   and   2*v eq w+u ;
[/color]

Et là je te demande de me croire : c'est que l'on peut calculer l'idéal $I$ des relateurs entre les 4 fonctions à partir de l'idéal $J := \langle tw^2 - v^3, uw - v^2\rangle$ ($J$ est strictement contenu dans $I$). On démontre que $I$ est le saturé de $J$ EN $tuvw$. C.a.d.
$$
I = \{F \in \Z[T,U,V,W] \mid (TUVW)^\bullet F \in J\} \qquad\qquad \qquad \text{(c'est cela que j'ai enseigné dans le passé, la honte)}
$$

[color=#000000]>  //                t        u         v        w
> fractions := [z^3/y^5, x*z^2/y^4, x^2*z/y^3, x^3/y^2] ;
> relations := Relateurs([IntegerRing(K)|], fractions, R) ;
> relations ;
[
    u*w - v^2,
    t*w - u*v,
    t*v - u^2
]
> J := Ideal([t*w^2 - v^3, u*w - v^2]) ;
> assert Ideal(relations) eq Saturation(J, t*u*v*w) ;
[/color]

Pour l'instant je n'ai pas de question mais je voulais absolument te monter ma c.nnerie.

$\bullet$ J'en viens à ma question. En travaillant avec une NOUVELLE version de magma (la mienne est toute pourrie), j'ai appris à utiliser les patchs affines de $\P^2(2,3,5)$. En passant, tout est cohérent avec ce que j'ai raconté (modulo la c.nnerie, bien sûr).

[color=#000000]> k := RationalField() ;
> P2W<x,y,z> := ProjectiveSpace(k, [2,3,5]) ;
> 
> //     w         v          u         t
> // (x^3/y^2, x^2*z/y^3, x*z^2/y^4, z^3/y^5)
> Uy<w,v,u,t>, fy, gy := WeightedAffinePatch(P2W, 2) ; 
> Uy ;
Scheme over Rational Field defined by  v^2 - w*u,   -v*u + w*t,    -u^2 + v*t
> fy : Minimal ;
(w, v, u, t) -> (w : w : w*v)
Alternatives:
(w, v, u, t) -> (u : t : t^2)
> gy : Minimal ;
(x : y : z) -> (x^3/y^2, x^2*z/y^3, x*z^2/y^4, z^3/y^5)
[/color]

Tu vois le truc ?
Question : peux tu m'expliquer d'où sort $f_y : U_y \to \P^2(2,3,5)$, qui est d'ailleurs fourni avec DEUX alternatives. Sortir au sens ``de manière automatique'', ``par un algorithme''.

Merci.
PS : j'ai posé la question sur $F = 0$ lisse, on verra bien.

$\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\uU{\underline U}\def\Spec{\text{Spec}\ }$Goleon
Mais si tu comprends. Pour l'instant, relativement à ton dernier post, je mets de côté le point 3. (transition) et le point 4 (le coup de $\A^4/\mu_3$). A ressortir plus tard, chaque chose en son temps. A première vue, on pourrait avoir l'impression que tu t'es éloigné de mes notations via le coup de TON $g_y : U_y \to \A^4$ (je dis bien à première vue, faut que je réfléchisse, après tout tu es remonté à $\A^4$ à l'arrivée donc cela doit être kif-kif, je me comprends que je dis).

Du coup, je vais préciser encore les acteurs qui interviennent pour $\P^2(a,b,c)_{(x:y:z)}$ en privilégiant $U_y$ car c'est lui, pour $(a,b,c) = (2,3,5)$, qui m'a permis de rentrer dans la citadelle (via une petite porte dérobée). Pour moi, sont au coeur de $\P^2(a,b,c)$, les objets suivants (objets algébriques, tu t'en doutes car je ne suis pas géomètre).

$\bullet$ A. La $\Z$-algèbre $\Z[x,y,z,y^{-1}]_0$. Elle est monomialement canoniquement de type fini. C.a.d que $ \Z[x,y,z,y^{-1}]_0 = \Z[u_1, u_2, \cdots]$ où chaque $u_\ell$ est un monôme en $x,z, y^{-1}$, $u_\ell = x^\bullet z^\bullet / y^\bullet$ de poids 0. Il se trouve, qu'il y a un système canonique fini de tels générateurs, c'est important. It is the story of Hilbert basis (finitude via le lemme de Gordan ...etc..). Le cône rationnel qui intervient est celui de ${\R_+^3}_{(X,Y,Z)}$ défini par :
$$
aX + cZ = bY, \quad X, Y, Z \ge 0
$$Avec un point entier de ce cône disons $(i,j,k)$, donc $ai + ck = bj$, on fabrique le monôme $x^i z^k / y^j$ qui est bien de poids $0$. Et réciproquement. L'image attachée en donne une idée vague (tirée de Monoid algebras and discrete geometry, de Winfried Bruns, une pointure dans ce domaine).

$\bullet$ B. Je note $N$ le nombre de générateurs exhibés. Par exemple, pour $(2,3,5)$, on a $N=4$ et les générateurs sont $x^3/y^2, x^2z/y^3, xz^2/y^4, z^3/y^5$. On s'alloue un système de $N$ indéterminées $U_1, U_2, \cdots$ (fraiches tant qu'à faire) et on considère le morphisme (dit torique) :
$$
\varphi : \Z[U_1, U_2, \cdots] \to \Z[u_1, u_2, \cdots] \subset \Z[x,y,z,y^{-1}] \qquad U_\ell \mapsto u_\ell
$$Torique cela veut tout simplement dire que $\varphi$ transforme une indéterminée en un monôme (de Laurent, il y a un exposant négatif sur $y$). Le noyau de ce morphisme (les relateurs entre les $u_\ell$) est engendré par un nombre fini de binômes purs i.e. de la forme $U^\alpha - U^\beta$. Il y a des techniques pour calculer ce système fini de générateurs. Cf par exemple Robbiano, Bigatti, Toric ideals in http://mat.unb.br/~matcont/21_1.pdf mais il faut soi-même se payer le cas du corps de base égal à $\Z$. C'est très important de le faire sur $\Z$ car AUCUN coefficient du corps de base ne rentre dans la course. Pour $(a,b,c) = (2,3,5)$, il y a 3 binômes purs $uw - v^2$, $tw - uv$, $tv - u^2$.

C'est une bonne idée de coller un poids à $U_\ell$ : on lui colle le poids $j$ si $u_\ell = x^\bullet z^\bullet / y^j$. De cette manière, $\ker\varphi$ est un idéal homogène en poids. Cela ne peut pas faire de mal.

$\bullet$ C. Cette surjection $\varphi : \Z[U_1, U_2, \cdots] \twoheadrightarrow \Z[x,y,z,y^{-1}]_0 = \Z[u_1, u_2, \cdots]$ donne par co-morphisme une injection $\Spec \Z[x,y,z,y^{-1}]_0 \hookrightarrow \A^N_{\uU}$. Des grands mots pour parler du sous-schéma $U_y$ de $\A^N_{\uU}$ défini par les binômes purs. Et dans ma tête pour l'instant, je n'avais pas donné de nom à cette inclusion car c'était une inclusion (sic).

$\bullet$ D. Intervient un autre acteur $\Z[x,y,z,y^{-1}]_{-1}$ : les fractions homogènes de poids $-1$ donc les monômes $x^\bullet z^\bullet/y^\bullet$ de poids $-1$. C'est un module monomial de type fini sur $\Z[x,y,z,y^{-1}]_{0}$, probablement avec un système canonique de générateurs monomiaux. Faut que je me clarifie sur cette histoire.

Que fait-on avec un tel générateur $m$ de poids $-1$ ? Le trick ci-dessous étant entendu que $y \ne 0$ car il est au dénominateur de $m$ (of course $\ne 0$, cela signifie inversible). Attention, ici, on fricote avec les POINTS pris n'importe où :
$$
(x : y : z) \quad \buildrel {\times m} \over = \quad (m^ax : m^b y : m^c z) = (\text{monôme 1 en les } u_\ell : \text{monôme 2 en les } u_\ell : \text{monôme 3 en les } u_\ell )
$$Pourquoi ? Parce ce que $m^ax$ est de poids $0$. Idem pour $m^by$, $m^cz$. Et ce qui est écrit dans cette ligne est l'expression d'un machin
$$
(u_1, u_2, \cdots) \longmapsto (\text{monôme 1 en les } u_\ell : \text{monôme 2 en les } u_\ell : \text{monôme 3 en les } u_\ell )
$$qui va (avec mes notations) de $U_y$ vers $U'_y$.
Exemple : pour $(a,b,c) = (2,3,5)$, les deux monômes de poids $-1$ qui apparaissent sont $x/y$ ($2-3=-1$) et $z/y^2$ ($5 - 2 \times 3 = -1$).

Pause. Et j'insiste sur le point : tout est monomial et/ou binomial (pas de coefficients). Histoire de faire peur aux enfants, on dit torique, ça les calme.