Nombre complexe

Pour moi c'est du n'importe quoi !

Bonjour.

Je bloque dès la deuxième ligne : Je connais l'exponentielle complexe, qui permet de donner une puissance complexe d'un réel : $a^z$ avec a réel et z complexe; je sais calculer des puissances entières d'un complexe (non nul si l'entier est négatif). Mais je ne sais pas comment on définit $z^{z'}$ quand z et z' sont des complexes. Quelle est ta définition ?

Si tu n'as pas de définition, ce que tu as écrit est une imitation absurde de calculs que tu as faits dans des conditions où ils avaient un sens (exponentielle complexe dans le 1, utilisation d'un log alors qu'il ne s'agit pas d'un réel).

Donc à priori, aucun de tes calculs n'a de sens; sans compter qu'ils terminent par un k qui n'a pas de sens : la notation du début ne désigne pas une série de nombres, mais prétendument un complexe.

En général, on évite d'élever les complexes à des puissances complexes, et si on a besoin de travailler sur une sorte d'équivalence de ces puissances, on utilise des théories différentes (par exemple surfaces de Riemann) pour traiter la question sans risque).
Mais, en dehors du plaisir de jouer avec les notations, as-tu vraiment besoin de ce calcul ?

Cordialement.

NB : Si on traite le calcul formellement (*), on obtient les mêmes résultats (les logiciels de calcul formel, qui ne comprennent pas ce qu'ils écrivent, font ça).

(*) et sans erreur de calcul.

À la rigueur : $\sqrt[1]{z} = z$, mais ce n'est pas passionnant !

Si c’est le cas, j’aimerais bien le lire. C’est quelle édition? On pourrait avoir un scan ici, d’histoire de rigoler un peu?:-D
Tous les auteurs ont leurs coquilles mais là, pour le coup, j’avoue que je suis surpris!

JL,

Tant qu’à faire, élève encore $(1+i)^i$ à la puissance $i$, tu auras des surprises, y a rien qui te gêne Jean?

@YvesM,

Pourrais-tu être plus clair, parce que ton message est inquiétant(ou ironique?).

Bonjour,

JL a fait le meilleur choix.

Pourquoi choisir de faire le con au lieu de donner la solution avec l'argument principal ?

Pourquoi choisir un autre argument que l'argument principal ? Parce que celui-ci n'a aucune propriété particulière. Parce que pour un nombre négatif, il est particulièrement arbitraire de choisir $\pi$ plutôt que $-\pi$. Parce que souvent, on cherche une détermination continue du log ou des puissances et que l'argument principal est impossible à utiliser (exemple : définir un arcsinus sur le demi-plan $\Re z>1$).

Surtout, parce qu'avant de faire un choix arbitraire (justifié par les pratiques du milieu), il faut prendre acte que l'on est en train de faire un choix.

Un exemple où l'utilisation brutale de l'argument principal n'est pas optimale.

YvesM,

la fonction racine cubique est effectivement bien définie sur l'ensemble des réels, mais elle est mal définie sur l'ensemble des complexes, au sens où il n'y a pas de bonne définition de $z^a$ qui soit continue quand $(z,a)\to(-2,\frac 1 3)$, ce qui interdit de définir comme d'habitude $\sqrt[3] z$ comme $z^{\frac 1 3}$.

Je n'étais pas revenu sur le sujet, bien que ton accusation "Faire chier l'auteur d'un fil est devenu un sport pour certains" soit une erreur dans ce cas (même si ça arrive effectivement un peu trop souvent), mais ta dernière intervention montre que tu manques de connaissances sur ce sujet. S'il existait une manière uniforme et sans problème de définir $z^{z'}$, on n'aurait jamais fait ces remarques à Saroush.

Cordialement.