Cardinal d'une clôture algébrique
Bonjour,
soient $q$ la puissance d'un nombre premier et $x=(x_0,...,x_m) \in \mathbb{F}^{m+1}_q$. On suppose que $r$ de ces $x_i$ sont non-nuls et que $(a_0,a_1,...,a_r)$ sont $r+1$ entiers premiers entre eux.
Mon problème est de déterminer le cardinal de l'ensemble suivant:
\begin{equation}
\displaystyle S_{q,r}= \{\lambda \in \mathbb{\overline{F}}^*_q\:|\: (\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1, ..., \lambda^{a_r}x_r) \in \mathbb{F}^{r+1}_q\}
\end{equation}
Combien possède-t-il d'éléments distincts ? Les $a_i$ étant premiers entre-eux, il existe par la relation de Bezout, des coefficients $u_0, u_1,...,u_r$ tels que $u_0a_0+...+u_ra_r=1$.
Donc, si $t \in \mathbb{F}^*_q: \: \ t=(t^{a_0})^{u_0}...(t^{a_r})^{u_r} \in \mathbb{F}^*_q$. Par l'action du groupe multiplicatif $\mathbb{F}_q^*$:
\begin{equation}
\displaystyle t_1.(x_0,...,x_r)=t_2.(x_0,...,x_r) \Longleftrightarrow \big(t_1^{a_0}x_0, t_1^{a_1}x_1,...,t_1^{a_r}x_r\big)=\big(t_2^{a_0}x_0, t_2^{a_1}x_1,...,t_2^{a_r}x^r\big) \\
\Longleftrightarrow t_1^{u_0a_0+...+u_ra_r}=t_2^{u_0a_0+...+u_ra_r} \Longleftrightarrow t_1=t_2
\end{equation}
Mais comment en déduire le cardinal de $S_{q,r}$ ? Autrement dit combien d'éléments $\lambda$ de la clôture algébrique de $\mathbb{F}^*_q$ sont tels que $\big(\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1, ..., \lambda^{a_r}x_r \big) \in \mathbb{F}^{r+1}_q$ ?
...
soient $q$ la puissance d'un nombre premier et $x=(x_0,...,x_m) \in \mathbb{F}^{m+1}_q$. On suppose que $r$ de ces $x_i$ sont non-nuls et que $(a_0,a_1,...,a_r)$ sont $r+1$ entiers premiers entre eux.
Mon problème est de déterminer le cardinal de l'ensemble suivant:
\begin{equation}
\displaystyle S_{q,r}= \{\lambda \in \mathbb{\overline{F}}^*_q\:|\: (\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1, ..., \lambda^{a_r}x_r) \in \mathbb{F}^{r+1}_q\}
\end{equation}
Combien possède-t-il d'éléments distincts ? Les $a_i$ étant premiers entre-eux, il existe par la relation de Bezout, des coefficients $u_0, u_1,...,u_r$ tels que $u_0a_0+...+u_ra_r=1$.
Donc, si $t \in \mathbb{F}^*_q: \: \ t=(t^{a_0})^{u_0}...(t^{a_r})^{u_r} \in \mathbb{F}^*_q$. Par l'action du groupe multiplicatif $\mathbb{F}_q^*$:
\begin{equation}
\displaystyle t_1.(x_0,...,x_r)=t_2.(x_0,...,x_r) \Longleftrightarrow \big(t_1^{a_0}x_0, t_1^{a_1}x_1,...,t_1^{a_r}x_r\big)=\big(t_2^{a_0}x_0, t_2^{a_1}x_1,...,t_2^{a_r}x^r\big) \\
\Longleftrightarrow t_1^{u_0a_0+...+u_ra_r}=t_2^{u_0a_0+...+u_ra_r} \Longleftrightarrow t_1=t_2
\end{equation}
Mais comment en déduire le cardinal de $S_{q,r}$ ? Autrement dit combien d'éléments $\lambda$ de la clôture algébrique de $\mathbb{F}^*_q$ sont tels que $\big(\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1, ..., \lambda^{a_r}x_r \big) \in \mathbb{F}^{r+1}_q$ ?
...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Deuxièmement, est-ce que ta preuve de $t_1= t_2$ nécessite vraiment que $t\in \mathbb F_q^*$ ? (et quel est l'intérêt de ce résultat dans la suite ? puisque de toute façon on compte les $t$, pas les $r$-uplets)
Finalement tu peux réfléchir à la question : si $\lambda x \in \mathbb F_q$, $x\in \mathbb F_q\setminus \{0\}$, a-t-on $\lambda \in \mathbb F_q$ ?
ps: j'ai édité mon post suite à la confusion entre $r$ et $m$.
...
En tant qu'élément de $\mathbb{F}_q$, $\lambda$ vérifie $\lambda^q=\lambda$ mais je ne vois pas le lien avec la relation de Bézout.
...
...
J'ai sûrement mal compris la question, mais il me semble que:
En notant: $\quad m: =$ PPCM $\text {PGCD} \Big((q-1)a_0,(q-1)a_1,\cdots (q-1) a_r\Big),\quad$ et $\:s = \text{Val} _p(m),\quad (p\:\text{est la caractéristique de}\: \mathbb F_q),\quad\quad$ on a:
Si $\quad\forall i \in [\![0;r]\!] \:\:\: x_i \neq 0,\:\:$ alors: $\quad\:\:\forall i \in [\![0;r]\!] ,\quad \forall \lambda \in \overline {\mathbb F_q}^*: \quad \:\:\:$ $\lambda^{a_i} x_i \in \mathbb F_q \iff \lambda ^{a_i}\in \mathbb F_q \iff \lambda^{qa_i} = \lambda ^{a_i}.$
$$ \quad\quad \forall i\in [\![0;r]\!], \:\: \lambda^{a_i} (\lambda^{(q-1)a_i} -1) =0 \iff \lambda^m =1.$$
$$\displaystyle \prod _ {i=0}^r x_i \neq 0 \implies \text{Card} \Big\{ \lambda \in \overline {\mathbb F_q}^* \mid (\lambda ^{a_0}x_0, \lambda ^{a_1}x_1, \cdots \lambda ^{a_r} x_r) \in \mathbb F_q^{r+1} \Big \} = \dfrac m{p^s} .$$
$ \:\text{si PGCD }(a_0, a_1, \cdots a_r) =1 ,\:\:$ alors le cardinal cherché est $\:q-1,\:$ ce que l'on obtient directement, comme l'a écrit Maxtimax, avec:
$$\quad \forall i \in [\![0;r]\!] ,\:\:\:\lambda ^{a_i} \in \mathbb F_q \iff \lambda \in \mathbb F_q.$$
Tu vois bien que ta formule ne peut pas marcher : a priori, $m$ n'a aucune raison d'être divisible par $p^s$, tu aurais donc un cardinal non entier
Je ne comprends pas: $m$ est toujours divisible par $p^{v_p(m)}$.
Je ne vois pas d'erreur (il y en a peut-être) dans la courte suite de "$\iff$" que j'ai écrite.
...
Le décompte précédent concerne le cas où les $(a_0,a_1,...,a_r)$ sont premiers entre eux.
Dans le cas contraire (i.e; quand $\text{pgcd}(a_0,a_1,...,a_r)=d \geq 2$), on se ramène au premier cas en posant $b_i=a_i/d \in \mathbb{N}^*$.
Il faudrait que je vous explique exactement l'origine de tout cela mais là j'en peux plus ! J'y reviendrai très vite.
En tout cas, merci à Maxtimax et LOU16.
...
\forall a \in \Z,\ p^{v_p(a)} \text{ divise }\ a
.
$$ ($v_p$ est la valuation $p$-adique)
Dans $\overline{\mathbb F_q},$ le nombre de zéros distincts de $X^m -1$ est $\dfrac m{p^{v_p(m)}}$
@df. Si $\lambda^{a_i} x_i= 0 $, alors $\lambda^{a_i} =0$.
J'ai en effet écrit PPCM à la place de PGCD . Désolé pour cette bévue
Après si tu voulais dire $x_i\in F_{q^s}$ alors le problème devient plus marrant, si $g=1$ alors je dirais qu'il écrire $x_i = t^{e_i}$ avec $t$ d'ordre $q^s-1$ et comme $\lambda = t^{r (q^s-1)/(q-1)}$ on obtient les équations $a_i r (q^s-1)/(q-1)\equiv e_i \bmod q^s-1$.