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Pas facile pas difficile

Envoyé par AitJoseph 
Pas facile pas difficile
il y a deux mois
Résoudre dans R :



E : ( 1+x )1/3 + (1-x)1/3 = 2


Racine cubique



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AitJoseph.
Re: Pas façile pas diffiçille
il y a deux mois
Ok bien reçu pour l'équation $$\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} = 2$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par marsup.
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
Merci Mars up winking smiley
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
Bonsoir,

$x=0$ est la seule solution.

Cordialement,

Rescassol
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
$$\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} = 2$$
On éleve au cube
$$
\begin{align}
\big(
\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x}
\big)^3
& = 2^3 \\
\text{ binôme de Newton $n=3$} \\
(1+x)
+ 3 \cdot
\big[
\sqrt[3]{1+x}
\big]^2
\cdot
\sqrt[3]{1-x}
+ 3 \cdot
\sqrt[3]{1+x}
\cdot
\big[
\sqrt[3]{1-x}
\big]^2
+ (1-x)
& = 8 \\
3 \cdot
\sqrt[3]{1+x} \cdot
\sqrt[3]{1-x}
\cdot \big[
\underbrace{
\sqrt[3]{1+x} +
\sqrt[3]{1-x}
}_{2}
\big]
& = 6 \\
\sqrt[3]{1+x} \cdot
\sqrt[3]{1-x}
& =
1 \\
\sqrt[3]{(1+x)\cdot(1-x)} & = 1 \\
\end{align}
$$
et je ne vois pas d'autre solution réelle que $x=0$.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par marsup.
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
@Mars up


Ce n'est facile de voir que la fameuse quantité vaut 2 !
Dom
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
Oui, et c'est terrible quand on voit que c'est la première ligne de l'énoncé.
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
avatar
Soit $a$ et $b$ les deux racines cubiques. L'équation proposée est
$a+b=2$ . On élève au cube (une bijection).
$(a^3+b^3)+3ab(a+b)=8\quad$ soit $\quad(2)+3ab(2)=8\quad$ puis $\quad ab=1$
$a$ et $b$ sont "les" solutions de $Z^2-2Z+1=(Z-1)^2=0\quad$ Donc $a=b=1\quad$. On élève au cube
$1+x=1-x=1$
$x=0$
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
avatar
La fonction $\psi(x)=(1+x)^{1/3}+(1-x)^{1/3}$ est paire et un simple calcul de dérivée montre qu'elle est strictement décroissante sur $[0,1]$, ce qui donne tout de suite le résultat.
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
avatar
J'ai regardé a dérivée d'un peu plus près.
Franchement, je n'aimerais pas la croiser au coin d'un bois...
Et que se passe-t-il en dehors de $[-1,1]$ ?
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
avatar
En dehors de $[-1,1]$, $\psi$ n'est pas défini.

Et $\psi'(x)=\frac13((1+x)^{-2/3}-(1-x)^{-2/3})\le 0$ à cause du sens de variation de $u\mapsto u^{-2/3}$.
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
avatar
$\psi(2) = 4^{1/3} +( -1)^{1/3} = 4^{1/3} -1$
Etc.
Dom
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
En effet c’est défini sur $\mathbb R$ a priori.
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
avatar
J'ai considéré que $x^{1/3}$ n'était pas défini pour $x<0$.

Ceci dit, ça ne change rien, si tu prends $x^{1/3}=-(-x)^{1/3}$, $\psi$ est encore décroissante sur $[1,+\infty[$ (même calcul de dérivée).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par aléa.
P.
Re: Pas facile pas difficile
il y a deux mois
Allons y a notre tour : $a=(1+x)^{1/3},\ b=(1-x)^{1/3},\ a+b=a^3+b^3=2$ font que
$a^2-ab+b^2=1$ et $3a^2-6a+3=0$ ce qui donne $a=1,\, x=0.$
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