Pas facile pas difficile

AitJoseph · November 2019

Résoudre dans R :

E : ( 1+x )1/3 + (1-x)1/3 = 2

Racine cubique

marsup · November 2019

Ok bien reçu pour l'équation $$\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} = 2$$

AitJoseph · November 2019

Merci Mars up ;-)

Rescassol · November 2019

Bonsoir,

$x=0$ est la seule solution.

Cordialement,

Rescassol

marsup · November 2019

$$\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} = 2$$
On éleve au cube
$$
\begin{align}
\big(
\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x}
\big)^3
& = 2^3 \\
\text{ binôme de Newton $n=3$} \\
(1+x)
+ 3 \cdot
\big[
\sqrt[3]{1+x}
\big]^2
\cdot
\sqrt[3]{1-x}
+ 3 \cdot
\sqrt[3]{1+x}
\cdot
\big[
\sqrt[3]{1-x}
\big]^2
+ (1-x)
& = 8 \\
3 \cdot
\sqrt[3]{1+x} \cdot
\sqrt[3]{1-x}
\cdot \big[
\underbrace{
\sqrt[3]{1+x} +
\sqrt[3]{1-x}
}_{2}
\big]
& = 6 \\
\sqrt[3]{1+x} \cdot
\sqrt[3]{1-x}
& =
1 \\
\sqrt[3]{(1+x)\cdot(1-x)} & = 1 \\
\end{align}
$$
et je ne vois pas d'autre solution réelle que $x=0$.

AitJoseph · November 2019

@Mars up

Ce n'est facile de voir que la fameuse quantité vaut 2 !

Dom · November 2019

Oui, et c'est terrible quand on voit que c'est la première ligne de l'énoncé.

soland · November 2019

Soit $a$ et $b$ les deux racines cubiques. L'équation proposée est
$a+b=2$ . On élève au cube (une bijection).
$(a^3+b^3)+3ab(a+b)=8\quad$ soit $\quad(2)+3ab(2)=8\quad$ puis $\quad ab=1$
$a$ et $b$ sont "les" solutions de $Z^2-2Z+1=(Z-1)^2=0\quad$ Donc $a=b=1\quad$. On élève au cube
$1+x=1-x=1$
$x=0$

aléa · November 2019

La fonction $\psi(x)=(1+x)^{1/3}+(1-x)^{1/3}$ est paire et un simple calcul de dérivée montre qu'elle est strictement décroissante sur $[0,1]$, ce qui donne tout de suite le résultat.

soland · November 2019

J'ai regardé a dérivée d'un peu plus près.
Franchement, je n'aimerais pas la croiser au coin d'un bois...
Et que se passe-t-il en dehors de $[-1,1]$ ?

aléa · November 2019

En dehors de $[-1,1]$, $\psi$ n'est pas défini.

Et $\psi'(x)=\frac13((1+x)^{-2/3}-(1-x)^{-2/3})\le 0$ à cause du sens de variation de $u\mapsto u^{-2/3}$.

soland · November 2019

$\psi(2) = 4^{1/3} +( -1)^{1/3} = 4^{1/3} -1$
Etc.

Dom · November 2019

En effet c’est défini sur $\mathbb R$ a priori.

aléa · November 2019

J'ai considéré que $x^{1/3}$ n'était pas défini pour $x<0$.

Ceci dit, ça ne change rien, si tu prends $x^{1/3}=-(-x)^{1/3}$, $\psi$ est encore décroissante sur $[1,+\infty[$ (même calcul de dérivée).