Une histoire de décomposition
Bonsoir,
j'ai un exercice qui me donne du fil à retordre. Le voici :
$\sigma$ et $\gamma$ sont deux permutations distinctes de l'identité.
Je dois trouver la décomposition en cycles deux à deux disjoints de $\sigma\gamma\sigma^{-1}$ en fonction de celle de $\gamma$.
Alors j'écris celle de $\gamma$ et celle de $\sigma$ (possible par le théorème de décomposition en cycles) :
$\sigma = \prod_{i=1}^q\sigma_i$
$\gamma = \prod_{j=1}^r\gamma_j$
D'où je tire $\sigma\gamma\sigma^{-1}=\prod_{i=1}^q\sigma_i\prod_{j=1}^r\gamma_j(\prod_{i=1}^q\sigma_i)^{-1}$
Et je n'arrive pas à avancer.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.
j'ai un exercice qui me donne du fil à retordre. Le voici :
$\sigma$ et $\gamma$ sont deux permutations distinctes de l'identité.
Je dois trouver la décomposition en cycles deux à deux disjoints de $\sigma\gamma\sigma^{-1}$ en fonction de celle de $\gamma$.
Alors j'écris celle de $\gamma$ et celle de $\sigma$ (possible par le théorème de décomposition en cycles) :
$\sigma = \prod_{i=1}^q\sigma_i$
$\gamma = \prod_{j=1}^r\gamma_j$
D'où je tire $\sigma\gamma\sigma^{-1}=\prod_{i=1}^q\sigma_i\prod_{j=1}^r\gamma_j(\prod_{i=1}^q\sigma_i)^{-1}$
Et je n'arrive pas à avancer.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.
Réponses
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Bonsoir,
Voulais-tu écrire ceci ?\[\sigma\gamma\sigma^{-1}=\prod_{i=1}^q\sigma_i\prod_{j=1}^r\gamma_j\prod_{i=1}^q\sigma^{-1}_{(q+1)-i}\]Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Pour résoudre cet exercice, tu devrais commencer par traiter le cas où $\gamma$ est un cycle $(i_1 \, i_2 \, \dots \, i_k)$. Ensuite, tu peux remarquer que si $\gamma_1, \gamma_2 \in \mathfrak S_n$ alors $\sigma \gamma_1 \gamma_2 \sigma^{-1} = \sigma \gamma_1 \sigma^{-1}\sigma \gamma_2 \sigma^{-1}$.
-
Salut,
Je ne sais pas si on peut considérer comme plus direct que ce que propose Poirot. Soit $E$ de cardinal fini $n$, on a numéroté les éléments de $E$ et on considère là dessus une action de groupe "canonique" de $\mathfrak{S}_n$ sur E.
Du fait de l'associativité on va avoir pour $\forall x\in E$: $(\sigma \gamma\sigma^{-1}).(\sigma . x)= \sigma .(\gamma . x)$ .
Vois-tu où ça mène concernant la décomposition de $\sigma\gamma \sigma^{-1}$ en fonction de celle de $\gamma$? -
Je pense avoir compris.
Avec mes notations :
$\sigma\gamma\sigma^{-1} = \sigma (\prod_{j=1}^r\gamma_j)\sigma^{-1}= \prod_{j=1}^r \sigma\gamma_j\sigma^{-1}$ (je peux "faire rentrer" $\sigma$ et $\sigma^{-1}$ dans le produit puisque qu'indépendant de l'indice j).
$\gamma_j$ étant un cycle, on peut l'écrire comme tel : $\gamma_j=(i_1 ... i_k)$
Et par suite $\sigma\gamma_j\sigma^{-1}=\sigma(i_1 ... i_k)\sigma^{-1}=(\sigma(i_1),...,\sigma(i_k))$ qui est un cycle.
Deux choses me gênent :
- L'écrire ainsi revient à écrire $\sigma\gamma\sigma^{-1} = \prod_{j=1}^r \sigma\gamma_j\sigma^{-1}=\prod_{j=1}^r (\sigma(i_1),...,\sigma(i_k))$ (l'indice "j" n'apparaît plus !)
- Est-on certain que ces cycles sont deux à deux distincts ? -
On comprend mieux ce qui est en jeu, si on a en tête le principe suivant. Soit $(G,E)$ une "géométrie", c'est-à-dire un groupe $G$ agissant sur un ensemble "structuré" X, en respectant sa structure. Soit $g$ un élément de $G$ possédant certains "éléments caractéristiques" et $h$ un autre élément de $G$. Alors les éléments caractéristiques de $hgh^{-1}$ sont les images par $h$ des éléments caractéristiques de $g$. (N.B. pour les expressions entre guillemets, je reste volontairement vague.)
Je donne des exemples.
a) Soit $R$ une rotation de l'espace euclidien affine à trois dimensions, d'axe $D$ et soit $f$ une autre isométrie. Alors $f\circ R\circ f^{-1}$ est une rotation d'axe $f(D)$.
b) Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$, et $\lambda$ une valeur propre de $f$. Soit $g$ un endomorphisme inversible de $E$. Alors $E_{\lambda} (g\circ f\circ g^{-1}) =g(E_\lambda (f))$.
c) Soient $\sigma$ et $\tau$ deux permutations de $\{ 1,2,...,n\}$ et $c=(n_1 ,...,n_r )$ un cycle de $\sigma$. Alors $\tau (c):=(\tau (n_1 ),...,\tau (n_r ))$ est un cycle de $\tau \sigma\tau^{-1}$.
Etc ...
Les démonstrations sont souvent formellement les mêmes. -
Merci pour votre intervention.
Je redémarre doucement la machine et n'est pas encore le recul nécessaire pour faire le même constat. Mais ça viendra j'espère !
Aussi je me permet de reposer les deux questions de mon message précédent :
- L'écrire ainsi revient à écrire $\sigma\gamma\sigma^{-1} = \prod_{j=1}^r \sigma\gamma_j\sigma^{-1}=\prod_{j=1}^r (\sigma(i_1),...,\sigma(i_k))$ (l'indice "j" n'apparaît plus !)
- Est-on certain que ces cycles sont deux à deux distincts ? -
L'indice $j$ n'apparaît plus car tu as mal nommé ton cycle $\gamma_j$. Dans l'écriture $\gamma_j=(i_1 ... i_k)$ on ne voit pas la dépendance en $j$. Une solution serait d'écrire quelque chose comme $\gamma_j=(i_1^{(j)} ... i_{k_j}^{(j)})$. À toi de vérifier si ces cycles sont deux à deux distincts (la réponse est oui).
-
Merci, j'y vois plus clair.
Et encore plus en écrivant :
$\rho_j=(\sigma(i_1^{(j)}),...,\sigma(i_{k_{j}}^{(j)}))$
Ce qui donne :
$\sigma\gamma\sigma^{-1} = \prod_{j=1}^r \sigma\gamma_j\sigma^{-1} = \prod_{j=1}^r \rho_j$
On a donc bien une décomposition en produit de cycles.
Il reste à vérifier que ceux-ci sont deux à deux disjoints sachant que :
$supp(\rho_j)=\{\sigma(i_1^{(j)}),...,\sigma(i_{k_{j}}^{(j)})\}$, pour tout $j\in\{1,…,r\}$
J'imagine qu'il faut utiliser la bijectivité de $\sigma$, sans arriver à le formaliser.
Prenons les cas suivants :
$supp(\rho_1)=\{\sigma(i_1^{(1)}),...,\sigma(i_{k_{1}}^{(1)})\}$
$supp(\rho_2)=\{\sigma(i_1^{(2)}),...,\sigma(i_{k_{2}}^{(2)})\}$
On suppose que ces deux ensembles ne sont pas disjoints.
Dans ce cas, on aurait l'existence d'un $s_1$ et d'un $r_2$ avec : $\sigma(i_{s_1}^{(1)})=\sigma(i_{r_2}^{(2)})$.
Est-ce que je fais fausse route ? -
Tu ne fais pas fausse route. Que peux-tu déduire de l'égalité $\sigma(i_{s_1}^{(1)})=\sigma(i_{r_2}^{(2)})$ ? Tu as dit toi-même qu'il fallait se servir de la bijectivité de $\sigma$.
-
Arf oui.
Par injectivité, on aurait alors $i_{s_1}^{(1)}=i_{r_2}^{(2)}$.
Or les $\gamma_j$ sont supposés être deux à deux disjoints, ce qui ne serait pas le cas avec cette égalité.
Est-ce bien ça ? -
Les $\gamma_j$ sont surtout supposés être à support disjoints. Ensuite c'est terminé.
-
Super, j'ai parfaitement compris le raisonnement. Merci.
Avec le recul, je me dis qu'il faut que je m'entraîne davantage sur des exercices faisant intervenir des indices à différents niveaux.
Je n'aurai jamais pensé à écrire j en puissance dans $i_{k_j}^{(j)}$ pour signifier la dépendance à l'indice j, de même qu'écrire $k_j$ pour signifier que la longueur du cycle dépend aussi de l'indice j. Mais c'est somme toute logique, après coup.
Encore merci. -
supp
-
Bonjour side,
Tu dis essentiellement la même chose que Paul :-) -
supp
-
Ok side.
Pardonne-moi, mais je vais continuer à te tutoyer...
Au moins, toi, tu es spécialiste de quelque chose!
Si je voulais tenter une paraphrase de l’explication de Paul en calcul différentiel, je prendrais deux éléments $d$ et $f$ du groupe des difféomorphismes d’une variété $V$.
Si $J$ est le jacobien de $d$ alors celui de $f \circ d\circ f^{-1}$ serait $f(J)$, qui est définie comme la matrice dont la $j-$ième colonne est le vecteur colonne $f(\frac{\partial d_1}{\partial x_j},\frac{\partial d_2}{\partial x_j},...,\frac{\partial d_n}{\partial x_j})$.
Si on peut l’appliquer aussi naïvement, alors le « principe » est conceptuellement puissant...
En particulier, il s’agit bien d’un transport d’ «élément caractéristique » via une bijection idoine, non?
D’autre part, c’est aussi ce que D.Perrin, si mes souvenirs sont bons appelle « principe de conjugaison ».
C’est comme cela que j’ai compris les deux messages. -
supp
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Bonjour!
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