Groupes d'ordre 2019

Miniportecle · November 2019

Bonjour
Dans un exercice, je dois montrer qu'il existe exactement deux groupes d'ordre $2019$.

Je commence en décomposant $2019$ en facteurs premiers. J'obtiens $ 2019 = 3 \times 673$.
J'appelle $T(G)$ la torsion du groupe $G$ .
J'ai alors $T_3(G)$ est un groupe abélien de cardinal $3$ : $\mathbb Z_3$.
Et j'ai $T_{673}(G)$ est un groupe abélien de cardinal $673$ : $\mathbb Z_{673}$.

J'ai alors $G$ de cardinal $2019$ isomorphe à $\mathbb Z_3 \times \mathbb Z_{673}$. Mais quel est le second groupe ?
Existe-t-il un groupe non abélien isomorphe à un groupe de cardinal $2019$ ?

Si j'applique le même raisonnement à $2020$, je trouve deux classes d'isomorphismes de groupes abéliens d'ordre $2020$ qui sont $\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_5 \times \mathbb Z_{101}$ et $(\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2) \times \mathbb Z_5 \times \mathbb Z_{101}$ mais il y en a-t-il d'autres ?

Merci d'avance !

Guego · November 2019

Il doit y avoir un produit semi-direct. Prenons un élément $u$ d'ordre 3 dans le groupe multiplicatif $(\Z/673\Z)^*$, par exemple $u=255$. Alors la loi définie par $(a,b)*(c,d) = (a+u^b c,b+d)$ doit munir $\Z/673\Z \times \Z/3\Z$ d'une structure de groupe non abélien.
Autre manière de le voir, c'est le groupe engendré par $x$ et $y$, avec les relations $x^{673}=e$, $y^3=e$ et $yx=x^uy$.
($x=(1,0)$ et $y=(0,1)$ dans la première définition).

Goleon · November 2019

Salut,

Je tente :

Je note $k := \mathbb{F}_p$ avec $p = 673$. Je note $G := \{ x \mapsto ax+b \mid (a,b) \in k^\star \times k \}$ le groupe des bijections affines de $k$ muni de la composition des applications. Et je prends le sous-ensemble $H$ des éléments de $G$ vérifiant $a \in \{1,255, 417 \}$.

Est-ce que tu peux montrer $H$ est un sous-groupe de $G$. Peux-tu calculer le cardinal de $H$ et peux tu montrer que ce groupe n'est pas commutatif.

Fin de partie · November 2019

Dans le cas d'un groupe $G$ d'ordre $2019$, puisque $3$ est le plus petit diviseur premier de $2019$ on peut affirmer, sauf erreur, qu'il existe un sous-groupe $H$ d'ordre $673$ et ce sous-groupe est distingué.

Ce qui fait qu'on a un morphisme de groupes de $G$ vers $G/H$ et ce dernier groupe est isomorphe au groupe cyclique à $3$ éléments.

Miniportecle · November 2019

Rebonjour,

Je dois avoir manqué quelque chose car je ne comprends pas trop les raisonnements ci-dessus...

Fin de partie · November 2019

On peut lire sur la page:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_semi-direct#Produit_semi-direct_interne

que, $G$ est un groupe avec $H$ sous-groupe distingué de $G$ et $K$ un sous-groupe de $G$,
Si on a que la restriction de la "projection canonique" (de $G$ dans $G/H$) à $K$ est un isomorphisme, alors $G$ est le produit semi-direct interne de $H$ par $K$.

$G$ est un groupe d'ordre $2019$,$K$ est un sous-groupe d'ordre $3$, il est isomorphe au groupe cyclique d'ordre $3$.
$G/H$ aussi ($H$ est un sous-groupe d'ordre $673$, il est nécessairement distingué dans $G$)

La restriction de "la projection canonique" à $K$ ne peut donc avoir pour noyau, le sous-groupe trivial ou $K$ tout entier.
Mais le dernier cas est exclus puisque $K$ est d'ordre $3$ et que le noyau de la "projection canonique" est le sous-groupe $H$ qui est d'ordre $673$ nombre premier. ($H\cap K$ est le sous-groupe trivial)

La restriction de "la projection canonique" à $K$ est donc bien un isomorphisme de $K$ sur $G/H$.

NB:
Cela ne clôt pas la question. Je pense avoir seulement montré qu'on peut écrire un élément $g$ de $G$ de façon unique comme $g=h.k$ avec $h\in H,k\in K$.

Miniportecle · November 2019

Rebonsoir,

Je viens de relire mon cours. Il y a un théorème qui dit que si $p, q$ sont deux nombres premiers tels que $p < q$ et si $p$ divise $q-1$ (ce qui est le cas de $3$ et $673$) alors il existe, à isomorphe près, exactement deux groupes distincts d'ordre $pq$.
- $\mathbb Z_{p} \times \mathbb Z_{q}$
- $\mathbb Z_{p} \rtimes_\phi \mathbb Z_{q}$
où $\phi : \mathbb Z_{p} \to \text{Aut}(\mathbb Z_{q})$ avec la loi $(a, b) (a', b') = (a \phi(b)a', bb')$, pour $a, a' \in \mathbb Z_{p} $ et $b, b' \in \mathbb Z_{q} $.

Mais pour le cas de $2020$. On a $4$ qui divise $5-1$ et $101 -1$ et $5$ qui divise $101 -1$. Est-ce que je pourrais appliquer successivement ce théorème ? Et dire qu'un groupe d'ordre $2020$ est isomorphe à
- $\mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{5}\times \mathbb Z_{101}$,
- $(\mathbb Z_{4} \rtimes_{\phi_1} \mathbb Z_{5}) \times \mathbb Z_{101}$,
- $ \mathbb Z_{5}\times (\mathbb Z_{4} \rtimes_{\phi_2} \mathbb Z_{101})$,
- $(\mathbb Z_{5} \rtimes_{\phi_3} \mathbb Z_{101}) \times \mathbb Z_{4}$,

en définissant $\phi_i$ 'comme' ci-dessus ?

Merci à tous

Fin de partie · November 2019

A mon humble avis, Il y a un problème dans le texte de l'énoncé du théorème que tu cites.

Si on considère le morphisme $\phi : \mathbb Z_{p} \to \text{Aut}(\mathbb Z_{q})$ qui à tout élément de $Z_{p} $ associe l'automorphisme identité de $\mathbb Z_{q}$
On a, sauf erreur, que $(a,b).(a',b')=(aa',bb')$ et donc dans ce cas, $\mathbb Z_{p} \rtimes_\phi \mathbb Z_{q}$ est isomorphe à $\mathbb Z_{p} \times \mathbb Z_{q}$

PS:
Pour ton groupe d'ordre $2020$ il pourrait être isomorphe à $\mathbb Z_{2}\times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{5}\times \mathbb Z_{101}$