Tao et les neutrinos
ArXiv 1908. 03795v1
Soit $A$ hermitienne d'ordre $n$ et $M_j$ la sous-matrice obtenue en barrant ligne et colonne $j$. Soit $v_i=(v_{ij})$ un vecteur propre de norme 1 pour la valeur propre $\lambda_i(A).$ Alors pour tous $i,j$ $$
|v_{ij}|^2\prod_{k\neq i}(\lambda_i(A)-\lambda_k(A))=\prod_{k=1}^{n-1}(\lambda_i(A)-\lambda_k(M_j)).$$
Soit $A$ hermitienne d'ordre $n$ et $M_j$ la sous-matrice obtenue en barrant ligne et colonne $j$. Soit $v_i=(v_{ij})$ un vecteur propre de norme 1 pour la valeur propre $\lambda_i(A).$ Alors pour tous $i,j$ $$
|v_{ij}|^2\prod_{k\neq i}(\lambda_i(A)-\lambda_k(A))=\prod_{k=1}^{n-1}(\lambda_i(A)-\lambda_k(M_j)).$$
Réponses
-
Bonjour -
Relation intéressante.
Quelle valeur de |v_{i j}| est attribuée lorsque le terme de droite s’annule et que le produit de gauche s’annule (quand une valeur propre est multiple) ? -
Si $\lambda_i(A)$ est une valeur propre multiple, alors $|v_{i,j}|^2$ n'est pas bien définie.
-
Bonsoir, peut être que le terme droite s'annulle aussi. Dans ce cas.
-
remarques pertinentes en effet. En voici d'autres
1) Les neutrinos se moquent des racines doubles ;
2) les valeurs propres de $M_j$ sont entrelacees avec celles de $A$ et donc une vp de $M_j$ coincide avec une vp multiple de $A.$ -
La chose la plus non triviale pour moi c'est qu'on est sur un vecteur propre $v_i$ associé à $\lambda_i$ et les autres $\lambda_i$, $i\neq j$ entrent dans l'égalité.
Cordialement. -
Bonsoir,
Je me suis contenté du cas symétrique réel, mais ce qui suit doit facilement s'adapter au cas hermitien.
Il a été remarqué que la propriété à établir est vraie lorsque $\lambda_i$ est une valeur propre multiple de $A$.
Je suppose donc que $\lambda_i$ est valeur propre simple de $A.$
L'expression du coefficient ligne $j$, colonne $j$ de la matrice inverse de $ \lambda \mathrm I_n - A$ en fonction du "cofacteur" donne:
$$\forall \lambda \in \R \setminus \text{Sp} (A),\quad\quad \text{Det} (\lambda \mathrm I _{n-1} - M_j )= \left[ (\lambda \mathrm I_n -A)^{-1}\right] _{jj}\times\text{Det} (\lambda \mathrm I_n -A).\quad\quad (\bigstar)$$
Soit $P\in \mathcal O _n (\R)\: \:\text{telle que} \:\: P^{-1}AP =D= \text{Diag}\:(\lambda_1,\lambda_2,\cdots\lambda_n).\quad$ Alors, $\:\Big[(\lambda \mathrm I_n -A)^{-1}\Big]_ {jj}= \Big[P (\lambda \mathrm I_n -D)^{-1} P^{-1}\Big]_{jj} =\displaystyle \sum_{k=1} ^n \dfrac {P_{jk}^2}{\lambda - \lambda_k}.$
En reportant dans $(\bigstar)$: $\:\: \text{Det} (\lambda \mathrm I_{n-1} - M_j) = \displaystyle \prod_{k\neq i} (\lambda - \lambda_k) \sum_ {k=1} ^n P_{jk}^2 \dfrac {\lambda - \lambda_i}{\lambda - \lambda_k} ,\quad$ puis en faisant tendre $\lambda$ vers $\lambda_i$:
$$ \displaystyle \prod _{k=1}^n (\lambda_i -\lambda_k(M_j)) =\text{Det}( \lambda _i \mathrm I_{n-1} - M_j) = \displaystyle P_{ji}^2\:\prod_{k\neq i} (\lambda_i - \lambda _ k) .$$
$P_{ji}\:$ est la $j\text{-iême coordonnée d' un vecteur propre unitaire associé à}\: \lambda_i$ et on a bien la relation attendue. -
Bonsoir,
Il a été dit que les neutrinos se moquaient des racines multiples: si $\lambda$ est une valeur propre multiple de $A$, alors,elle est valeur propre de $M_j$ et il n'y a plus rien à prouver car les deux membres de l'égalité à démontrer sont nuls. J'aurais donc dû préciser que $\lambda _i$ était une valeur propre simple de $A$ -
LOU16, avoue que tu es un pseudo de Tao. Tu donnes sa deuxieme preuve.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 2
2 Invités