Tao et les neutrinos

Si $\lambda_i(A)$ est une valeur propre multiple, alors $|v_{i,j}|^2$ n'est pas bien définie.

Bonsoir,

Je me suis contenté du cas symétrique réel, mais ce qui suit doit facilement s'adapter au cas hermitien.

Il a été remarqué que la propriété à établir est vraie lorsque $\lambda_i$ est une valeur propre multiple de $A$.
Je suppose donc que $\lambda_i$ est valeur propre simple de $A.$
L'expression du coefficient ligne $j$, colonne $j$ de la matrice inverse de $ \lambda \mathrm I_n - A$ en fonction du "cofacteur" donne:
$$\forall \lambda \in \R \setminus \text{Sp} (A),\quad\quad \text{Det} (\lambda \mathrm I _{n-1} - M_j )= \left[ (\lambda \mathrm I_n -A)^{-1}\right] _{jj}\times\text{Det} (\lambda \mathrm I_n -A).\quad\quad (\bigstar)$$
Soit $P\in \mathcal O _n (\R)\: \:\text{telle que} \:\: P^{-1}AP =D= \text{Diag}\:(\lambda_1,\lambda_2,\cdots\lambda_n).\quad$ Alors, $\:\Big[(\lambda \mathrm I_n -A)^{-1}\Big]_ {jj}= \Big[P (\lambda \mathrm I_n -D)^{-1} P^{-1}\Big]_{jj} =\displaystyle \sum_{k=1} ^n \dfrac {P_{jk}^2}{\lambda - \lambda_k}.$
En reportant dans $(\bigstar)$: $\:\: \text{Det} (\lambda \mathrm I_{n-1} - M_j) = \displaystyle \prod_{k\neq i} (\lambda - \lambda_k) \sum_ {k=1} ^n P_{jk}^2 \dfrac {\lambda - \lambda_i}{\lambda - \lambda_k} ,\quad$ puis en faisant tendre $\lambda$ vers $\lambda_i$:
$$ \displaystyle \prod _{k=1}^n (\lambda_i -\lambda_k(M_j)) =\text{Det}( \lambda _i \mathrm I_{n-1} - M_j) = \displaystyle P_{ji}^2\:\prod_{k\neq i} (\lambda_i - \lambda _ k) .$$
$P_{ji}\:$ est la $j\text{-iême coordonnée d' un vecteur propre unitaire associé à}\: \lambda_i$ et on a bien la relation attendue.

Bonsoir,

Il a été dit que les neutrinos se moquaient des racines multiples: si $\lambda$ est une valeur propre multiple de $A$, alors,elle est valeur propre de $M_j$ et il n'y a plus rien à prouver car les deux membres de l'égalité à démontrer sont nuls. J'aurais donc dû préciser que $\lambda _i$ était une valeur propre simple de $A$