Irréductibilité dans $K[X,Y]$
Réponses
-
Bonjour
pour ces deux polynômes de degré 2, as-tu essayé de les supposer réductibles et voir si c'est effectivement possible? -
Justement, tu ne vas pas le factoriser. Tu vas supposer par l'absurde qu'il existe $P, Q \in K[X, Y]$ tels que $PQ = X^2+Y^2+1$. De cette égalité tu peux déduire des choses sur $P$ et $Q$, notamment en terme de degrés en $X$ et en $Y$.
-
@ Poirot
Cette méthode est très longue et peut-être n'est pas valable dans ce cas car tu obtiens un système de 6 équations ou plus c'est difficile de trouver une contradiction.
Mais
on peut considérer ces polynômes sur $(\R[X])[Y]$
et choisir un élément $P$ qui est irréductible dans $\R[X]$
et appliquer le critère d'Eisenstein. -
supp
-
chettah propose d'appliquer le critère d'Eisenstein dans l'anneau principal $\mathbb R[X]$, donc en utilisant un élément premier de cet anneau, pour obtenir l'irréductibilité d'un élément de $\mathbb R[X][Y]$. C'est effectivement la méthode qui me semble la plus directe ici.
-
supp
-
Bonsoir
Pour ce qui est de la longueur des calculs voici :
$X^2+Y^2+1=(aX+bY+c)(a'X+b'Y+c')$
donne
$aa'=bb'=cc'=1$ donc tous les coefficients sont non nuls
$ac'+ca'=bc'+cb'=ab'+ba'=0$
d'où $a/a'=b/b'$ et $a^2=b^2$
Si $a=b$ alors $a'=b'$ et $2ab'=0$ et contradiction
Si $a=-b$ alors $a=-b$ et encore $2ab'=0$ et contradicton -
supp
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres