Irréductibilité dans $K[X,Y]$

chettah · November 2019

Bonsoir.
Comment montre-t-on l'irréductibilité d'un polynôme dans $K[X,Y]$ ?
Exemples.
$ P1(X,Y)=X^2+Y^2+1 $
$P2(X,Y)=(X+Y)^2+X+Y+1$
Dans $\R[X,Y]$
Je n'ai pas besoin [de] la solution directement, j'ai besoin d'une explication détaillée dans le cas général.
Merci bien.

AP · November 2019

Bonjour
pour ces deux polynômes de degré 2, as-tu essayé de les supposer réductibles et voir si c'est effectivement possible?

chettah · November 2019

@AP
Comment en factoriser un polynôme dans K[X,Y] ?

Poirot · November 2019

Justement, tu ne vas pas le factoriser. Tu vas supposer par l'absurde qu'il existe $P, Q \in K[X, Y]$ tels que $PQ = X^2+Y^2+1$. De cette égalité tu peux déduire des choses sur $P$ et $Q$, notamment en terme de degrés en $X$ et en $Y$.

chettah · November 2019

@ Poirot
Cette méthode est très longue et peut-être n'est pas valable dans ce cas car tu obtiens un système de 6 équations ou plus c'est difficile de trouver une contradiction.
Mais
on peut considérer ces polynômes sur $(\R[X])[Y]$
et choisir un élément $P$ qui est irréductible dans $\R[X]$
et appliquer le critère d'Eisenstein.

side · November 2019

supp

Poirot · November 2019

chettah propose d'appliquer le critère d'Eisenstein dans l'anneau principal $\mathbb R[X]$, donc en utilisant un élément premier de cet anneau, pour obtenir l'irréductibilité d'un élément de $\mathbb R[X][Y]$. C'est effectivement la méthode qui me semble la plus directe ici.

side · November 2019

supp

AP · November 2019

Bonsoir
Pour ce qui est de la longueur des calculs voici :
$X^2+Y^2+1=(aX+bY+c)(a'X+b'Y+c')$
donne
$aa'=bb'=cc'=1$ donc tous les coefficients sont non nuls
$ac'+ca'=bc'+cb'=ab'+ba'=0$
d'où $a/a'=b/b'$ et $a^2=b^2$
Si $a=b$ alors $a'=b'$ et $2ab'=0$ et contradiction
Si $a=-b$ alors $a=-b$ et encore $2ab'=0$ et contradicton

side · November 2019

supp

Irréductibilité dans $K[X,Y]$

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