Dilatation & diagonalisation

Réponses

• Crapul

  November 2019

  Parlons en termes de matrices, avec cette définition : une dilatation est une matrice diagonalisable en une matrice diagonale (notée génériquement $D(a)$) avec que des 1, sauf quelques coefficients égaux à $a \in \R$.
  Déjà il est clair qu'une matrice diagonale peut s'écrire comme produit de matrices $D(a)$.
  Ensuite, si $A$ est diagonalisable, on a $A=P^{-1}DP$, avec $D$ diagonale, qui se décompose comme produit de $D(a)$. On fait rentrer des $P^{-1}P$ là où il faut, et on a un produit de dilatations, qui commute puisque les $D(a)$ le font. On voit au passage qu'alors les dilatations sont diagonalisables dans une même base.
  Je bloque pour la réciproque, il est classique que deux matrices diagonalisables qui commutent sont diagonalisables dans une même base, et c'est gagné dans ce cas. Par contre, je ne connais pas et ne trouve pas de résultat similaire pour $k \geqslant 3$ matrices, où commuter signifierait $\sigma (A_1 \dots A_k) = \sigma ' (A_1 \dots A_k)$ pour toutes permutations (1).
  Par contre, c'est vrai si les matrices commutent deux à deux, ce qui n'est pas équivalent à (1) en général.
• Crapul

  November 2019

  Je n'avais pas vu qu'on parlait d'un automorphisme. Le sens direct (diagonalisable -> produit) est vrai (sauf erreur) pour un endomorphisme quelconque. Pour l'autre sens, si les dilatations commutent au sens (1) et qu'elles sont toutes inversibles (c'est le cas du coup), alors elles commutent bien deux à deux et l'automorphisme de l'énoncé est diagonalisable dans la base commune.