Autour des classes d'équivalence

BMaths · November 2019

Bonjour,

dans un exercice, on considère un groupe fini $(G,.)$ d'ordre $n\ge 2$ et $H$ un sous-groupe distingué de $G$.
Je dois comparer l'ordre de $\bar{g}$ et celui de $g$ dans $G$.
J'arrive au résultat que l'ordre de $\bar{g}$ divise celui de $g$.

Ma question autre. Elle est de savoir quelle est la relation d'équivalence derrière $\bar{g}$ ? Ce n'est pas précisé.

Est-ce $xRy$ ssi $xy^{-1}\in H$ pour H un sous-groupe de G ? Systématiquement ?

Je me pose alors deux questions :
1. Est-ce que $\bar{xy}=\bar{x}\bar{y}$ ?
2. Est-ce que $\bar{x}^k=\bar{x^k}$ ?

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

Poirot · November 2019

Quand tu parles d'indice, j'imagine que tu veux parler d'ordre. Tu n'as pas précisé ce que voulais dire $\overline{g}$, mais il me semble que c'est un peu le sens de ta question.

La relation d'équivalence que tu as donnée est la seule telle que l'opération $(\bar x, \bar y) \mapsto \bar{xy}$ soit bien définie et telle que l'application de projection $G \longrightarrow G/\sim$ soit un morphisme de groupes. Donc la réponse à ton 1) est oui, par définition, et le 2) en est déduit par récurrence.

BMaths · November 2019

Oui, j'ai corrigé désolé !
C'est bien ordre et non indice qu'il fallait lire.

Et en effet, c'est bien le sens de ma question : lorsque la relation d'équivalence n'est pas précisée, est-ce celle de mon message initial qui est en jeu ? J'ai de nombreuses fois eu cette question où l'on parle d'une classe d'équivalence sans préciser la relation d'équivalence, ce qui est quelque peu perturbant. Sauf à considérer que c'est une sorte de classe d'équivalence "canonique" ?

Par ailleurs, pour répondre à mon 1., peut-on revenir à la définition pour prouver cette égalité ?
Moi, je n'y arrive pas.
J'essaye de procéder par double inclusion : $\bar{xy}\subset \bar{x}\bar{y}$ et réciproquement. Mais sans succès. Est-ce une mauvaise méthode ?

Merci encore !

Poirot · November 2019

C'est un peu la relation d'équivalence canonique, quand on dispose d'un sous-groupe $H$ d'un groupe $G$, c'est avec celle-ci que l'on définit l'ensemble des classes à gauche $G/H$, qui se trouve être un groupe pour l'opération décrite ci-dessus lorsque $H$ est distingué dans $G$.

C'est une "mauvaise" méthode, oui, au sens où tu cherches à démontrer quelque chose qui n'a pas de sens : l'objet $\bar x \bar y$ n'a pas de sens dit comme ça, il se trouve qu'on le définit comme étant la classe d'équivalence de $xy$. Ce qu'il faut prouver à ce stade-là, c'est que cette classe ne dépend pas de $x$ et de $y$. Autrement dit, il faut te convaincre que si $x' \in \bar x$ et $y' \in \bar y$ alors $x'y' \in \bar{xy}$.

Pour mener à bien la démonstration, je t'invite à écrire $gH$ la classe de $g$, ce qui facilite la visualisation des calculs.

BMaths · November 2019

Quelque chose m'échappe.
Si $\bar{x}\bar{y}$ est la classe d'équivalence de $xy$ alors que représente $\bar{xy}$ ?

Dans mon esprit : $u\in\bar{x}\bar{y}$ si $u=vw$ avec $v\in\bar{x}$ (soit vRx) et $w\in\bar{y}$ (soit wRy).
Alors que : $u\in\bar{xy}$ si $u=z$ avec $z\in\bar{xy}$ (soit zRxy).

Me trompe-je ?

Sinon, en suivant votre idée, on sait qu'avec cette relation d'équivalence, on a $\bar{x}=xH$ pour tout $x\in G$.
Par conséquent, $\bar{x}\bar{y}=xHyH=xyH=\bar{xy}$.

Qu'en pensez-vous ?

gerard0 · November 2019

Ben ... $x$ et $y$ étant donnés, il existe un élément appelé $xy$. $\bar{xy}$, ou, mieux écrit $\overline{xy}$ est la classe de l'élément $xy$.

Cordialement

Poirot · November 2019

Non, $\overline{xy}$ est la classe d'équivalence de $xy$, pas $\bar x \bar y$ qui est un objet a priori non défini (avant de poser la définition dont je parle depuis le début).

À la fin de ton message, il faut justifier pourquoi $xHyH=xyH$.

Fin de partie · November 2019

BMaths:

Tes questions peuvent se résumer, me semble-t-il, en:

On a une relation d'équivalence sur un groupe $G$, considéré comme un ensemble.
Cette relation d'équivalence définit un ensemble de classes d'équivalence.
Est-ce qu'on peut toujours munir ce dernier ensemble d'une structure de groupe compatible avec celle de $G$?
si $cl(g),cl(g')$ sont respectivement les classes d'équivalence auxquelles appartiennent les élément $g,g'$ de $G$
pour parler de compatibilité avec la loi de $G$ on doit avoir $cl(g.g')=cl(g)\star cl(g')$ ,$\star$ est la loi de groupe sur l'ensemble des classes d'équivalence.
Toi, tu notes ça $\overline{g.g'}=\overline{g}.\overline{g'}$

NB: remplace \bar par \overline c'est moins moche à mon humble avis.

PS:
La réponse à la question est NON. Pour pouvoir le faire, Il faut et il suffit que l'ensemble des classes d'équivalence soit dérivé d'une relation d'équivalence obtenue de la sorte: $g,g'\in G$ sont équivalents si et seulement si $g^{-1}g'$ appartient à un sous-groupe $H$ distingué de $G$.

PS2:
Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ alors les relations d'équivalence données par:
1)$g,g'\in G$ sont équivalents si et seulement si $g^{-1}g'\in H$
2)$g,g'\in G$ sont équivalents si et seulement si $gg'^{-1}\in H$
Donnent le même ensemble de classes d'équivalence.

Fin de partie · November 2019

On a une partition d'un groupe $G$, considéré comme ensemble, et on suppose qu'on a une loi $\star$ sur l'ensemble des classes d'équivalence $\mathfrak{C}$ induite par cette partition de $G$ qui est compatible avec la loi $.$ de $G$ qui fait de $(\mathfrak{C},\star)$ un groupe.

1) Si $E$ est la classe qui est l'élément neutre pour la loi $\star$.
On a nécessairement que l'élément neutre $e$ de $(G,.)$ appartient à cette classe.
Car $Cl(g)\star Cl(e)=Cl(g.e)=Cl(g)$

2) La classe inverse, notée $C^{-1}$, de la classe $C=Cl(g)$ pour la loi $\star$ a pour représentant $g^{-1}$, c'est à dire que $C^{-1}=Cl(g^{-1})$.
En effet, $Cl(g)\star Cl(g^{-1})=Cl(g.g^{-1})=Cl(e)=E$.

3) On peut montrer que $g$ et $g'$ sont dans la même classe $C$ si et seulement si $g^{-1}g'\in E$
En effet, on a:
Sens direct:
\begin{align}Cl(g^{-1}g')&=Cl(g^{-1})\star Cl(g')\\
&=C^{-1}\star Cl(g)\\
&=C^{-1}\star C\\
&=E\\
\end{align}
Et, l'autre sens:
Si $C=Cl(g)$.
\begin{align}E&=Cl(g^{-1}g')\\
&=C^{-1}\star Cl(g')\\
\end{align}Donc $g'$ est nécessairement dans la classe de $g$.

4) De là on peut en déduire que la classe $E$ est un sous-groupe de $G$.
Car, sauf erreur, on a la caractérisation suivante pour qu'une partie $H$ d'un groupe $G$ soit un sous-groupe de $G$:
Il faut et il suffit que pour tout $g,g'$ de $G$ on ait: $g^{-1}g'\in H$ et que l'élément neutre de $(G,.)$ appartienne à $H$.

5) Maintenant qu'on sait que $E$ est un sous-groupe de $G$ pourquoi ce sous-groupe est-il distingué dans $G$?

Soient $g\in G,h\in E$,
$Cl(g^{-1}hg)=Cl(g^{-1})\star Cl(h)\star Cl(g)=Cl(g^{-1})\star Cl(e)\star Cl(g)=Cl(g^{-1}.e.g)=Cl(e)=E$
Donc on a bien que $g^{-1}hg\in E$ et cela caractérise le fait que $E$ est un sous-groupe distingué de $G$.

Je pense donc avoir démontré que SI $(\mathfrak{C},\star)$ est un groupe ALORS la classe $E$ qui est l'élément neutre de ce groupe est un sous-groupe distingué de $G$.

NB:
$Cl(g)$ dénote la classe de l'élément $g$ de $G$ dans l'ensemble des classes d'équivalence qui est considéré.
Le mot compatible signifie ici que si $g,g'\in G$, $Cl(g)\star Cl(g')=Cl(g.g')$
Si $a,b,c \in G$, on peut parler de $a.b.c$ sans ambiguïté puisque la loi de groupe est associative.

BMaths · November 2019

Fin de partie écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1891734,1891810#msg-1891810
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Le cadre ainsi posé est très clair. Je cerne mieux la chose.
Je veux m'assurer d'une chose toutefois.

$(G,.)$ est un groupe noté multiplicativement.
On essaye de montrer que $(\mathfrak{C},\star)$ est un groupe où la loi $\star$ est définie par : $$
cl(g)\star cl(g') = cl(g.g').

$$ Est-ce bien cela ? Cette égalité n'est pas à démontrer. On la définit ainsi et l'on voit qu'elle fonctionne pour munir cet ensemble d'une structure de groupe.
Si je reviens à mon exercice maintenant, le cadre fixé était le suivant :
- $(G,.)$ est un groupe fini d'ordre $n\ge 2$
- $H$ est un sous-groupe distingué dans $G$

Dans ces conditions, peut-on dire que $\overline{g}^p=\overline{g^p}$, $\ p\in\mathbb{Z}$ ?
Ce que j'en pense :
La relation d'équivalence utilisée implicitement par cet exercice est la suivante :
$x\sim_G y\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$

Par suite, on définit :
$\overline{g}=\{h\sim g, h\in G\}$ la classe d'équivalence de $g\in G$
$G/\sim\, = \{\overline{g},g\in G\} $ est l'ensemble des classes d'équivalence.

Il n'est pas fait mention d'une quelconque loi induite. Seul l'argument suivant est mis en avant :

$H$ est distingué dans $G$

Est-ce cela qui permet d'écrire qu'alors : $\overline{g.h}=\overline{g}.\overline{h}$ et donc $\overline{g}^p=\overline{g^p}$, $\ p\in\mathbb{Z}$ ?

J'ai comme l'impression que l'énoncé de cet exercice n'est pas le plus précis possible et qu'il y a beaucoup d'implicite. Ou bien je n'ai pas tout saisi.

BMaths · November 2019

Fin de partie écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1891734,1891810#msg-1891810

> PS. La réponse à la question est NON. Pour pouvoir le faire, Il faut et il suffit que l'ensemble des
> classes d'équivalence soit dérivé d'une relation d'équivalence obtenue de la sorte :
> $g,g'\in G$ sont équivalents si et seulement si $g^{-1}g'$ appartient à un sous-groupe $H$ distingué de $G$.

Voilà exactement le point encore bloquant.
$\overline{g.g'}=\overline{g}.\overline{g'}$ ssi $G'$ est distingué dans $G$.

J'ai l'impression de ne pas comprendre en quoi l'argument d'être distingué est nécessaire et suffisant.

Poirot · November 2019

Ta question n'a pas de sens, la formule de gauche est une définition. Ce qui semble t'échapper, c'est que, pour que celle-ci ait un sens, il faut et il suffit que $H$ soit distingué dans $G$ !

Que se passerait-il si on pouvait trouver quatre éléments $a, a', b, b' \in G$ tels que $\overline a = \overline{a'}$ et $\overline b = \overline{b'}$, mais $\overline{ab} \neq \overline{a'b'}$ ? Ça serait quand même embêtant pour poser la définition dont on parle !

BMaths · December 2019

Ok.

Donc pour pouvoir mettre un signe $=$ entre $\overline g \overline h = \overline{gh}$, je dois m'assurer que $H$ est bien distingué dans $G$. Sinon je manipule des objets qui n'ont pas de sens. Est-ce bien cela ?

Dis autrement, sur une copie, j'écris :
$\overline g \overline h = \overline{gh}$ car $H$ distingué dans $G$
Encore merci de votre patience, j'ai du mal !

Fin de partie · December 2019

BMaths:

Prends le groupe $G$ à quatre éléments $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ et considère la partition de ce groupe considéré comme ensemble:
$\{0,3\},\{1,2\}$
Est-ce que l'écriture $\text{cl}(3)\star\text{cl}(1)$ a le sens qu'on veut lui donner?
Pour qu'elle ait un sens il faut qu'on ait que les éléments $0+1,0+2,3+1,3+2$ soient dans la même classe.
Mais $3+1=0$ et $0+2=2$ ne sont pas dans la même classe.
Donc l'écriture $\text{cl}(3)+\text{cl}(1)$ n'a pas le sens qu'on voudrait lui donner.
Donc toutes les partitions de $G$ ne conviennent pas.
Là, si je me souviens bien une "bonne" partition est obtenue à partir d'un $H$ sous-groupe de $G$.
Par une relation d'équivalence du type: $g$ et $g'$ sont dans la même classe si et seulement si $g^{-1}g\in H$

Et si on veut, de plus, la compatibilité $\text{cl}(gg')=\text{cl}(g)\star \text{cl}(g')$.
Il faut la bonne partition et encore une condition supplémentaire.
Toutes les conditions sont nécessaires et suffisantes et se résument à: il faut et il suffit que la partition considérée soit issue d'un sous-groupe distingué de $G$.

NB:
A partir d'un sous-groupe $H$ de $G$ on peut construire DEUX partitions, a priori, distinctes.
Mais si le sous-groupe $H$ est distingué dans $G$ ces deux partitions sont égales.

PS2:
Correction effectuée.

Autour des classes d'équivalence

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