Matrice de rang 1

rira · November 2019

Bonjour
Soit u un endomorphisme de E de rang 1
démontrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est de la forme :

    (0,0,...,a[sub]1[/sub])
A = (0,0,...,a[sub]2[/sub])
    (.,.,...,..)
    (0,0,...,a[sub]n[/sub])

Je bloque dans cette question, je veux juste des indices.
Merci d'avance.

YvesM · November 2019

Bonjour,

Soit $M$ la matrice de cet endomorphisme. Que veut dire de rang 1 ? Comment peux-tu le traduire algébriquement ? Comment s'écrit la matrice dans une base particulière ?

rira · November 2019

Si j'écris que u est de rang 1 donc son noyau est un hyperplan H de dimension n-1
Soit (e₁,....,e_n-1) une base de H qu'on complète en une base de E pour obtenir B=(e₁,....,e_n)
Est ce que j'ai le droit d'écrire directement qu'il existe (a₁,...a_n) de K tel que M=mat_B(u) est ce qui est demandé?

gerard0 · November 2019

Bonjour.

Oui, tu as le droit, tout le monde a le droit d'écrire ce qu'il veut. Par contre, pour une réponse à l'exercice, il vaut mieux démontrer que c'est ça.

Cordialement.

rira · November 2019

merci

YvesM · November 2019

Bonjour,

En mathématique, il vaut mieux ne pas écrire 'directement' mais démontrer. Avec tes notations, est-il juste d'écrire :
- Il existe une base de $H$ de dimension $n-1$ avec $n \geq 2$ : $(e_1, ... e_{n-1})$. Justification ?
- On peut construire une base de $E$ à partir de la base de $H$ : $(e_1, ... e_{n-1},e_n)$. Justification ?
- Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme s'écrit comme l'énoncé indique puisque $M e_j = 0$ pour tous les $j=1,..., n-1$ et $M e_n = a$ où $a=(a_1,...,a_n)$ est un vecteur non nul. Justification ?

On a trouvé une base dans laquelle la matrice s'écrit comme l'énoncé avec, en plus, la donnée qu'au moins un $a_k, k=1,...,n$ est non nul.

Je te laisse traité le cas $n=1.$

Matrice de rang 1

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 29