Algèbre de Lie abélienne
dans Algèbre
Bonsoir,
j'aurais besoin de quelques pistes sur un exercice.
On considère un algèbre de [large]L[/large]ie abélienne A sur C avec base {e1, e2}
Existe-t-il une représentation indécomposable fidèle de A sur C3
J'ai du mal à commencer (mais j'aurais tendance à dire non) du coup si vous aviez quelques indications merci. (:P)
[Sophus Lie (1842-1899) prend toujours une majuscule. AD]
j'aurais besoin de quelques pistes sur un exercice.
On considère un algèbre de [large]L[/large]ie abélienne A sur C avec base {e1, e2}
Existe-t-il une représentation indécomposable fidèle de A sur C3
J'ai du mal à commencer (mais j'aurais tendance à dire non) du coup si vous aviez quelques indications merci. (:P)
[Sophus Lie (1842-1899) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Mais que signifie "irréductible", dans ce cas ? (pas somme directe de deux sous-représentations, sans doute aucune sans sous-représentation, car en moyennant je ne-sais-quoi (mais l'algèbre n'est pas compacte !), on trouve des supplémentaires...)
Soit $L = \C e_1+\C e_2, [e_1,e_2] =0$ une algèbre de Lie de dimension $2$ dont le crochet de Lie est trivial, on considère $M_3(\C)$ comme l'algèbre usuelle des matrices avec aussi le commutateur comme crochet de Lie,
soit $\rho : L\to M_3(\C)$ un homomorphisme d'algèbre de Lie, alors $[\rho(e_1),\rho(e_2)]=0$ donc $\rho(e_1)\rho(e_2)=\rho(e_2)\rho(e_1)$.
Soit $a\in\C$ tel que $\det(\rho(e_1)-aI)=0$ alors $\rho(e_2)$ envoie $\ker(\rho(e_1)-aI)$ vers $\ker(\rho(e_1)-aI)$,
soit $B$ l'endomorphisme de $\ker(\rho(e_1)-aI)$ correspondant, soit $b\in \C$ tel que $\det(B-bI)=0$ et $v\in \ker(B-bI)-0$ alors $\rho(e_2)v=bv,\rho(e_1)v=a v$ et donc on a une sous-représentation $\rho_v$ qui envoie $e_1,e_2$ vers les restrictions de $\rho(e_1),\rho(e_2)$ comme endomorphismes de $\C v$.
Donc $\rho$ n'est jamais irréductible.
La question c'est si $\rho$ est toujours décomposable, c'est à dire que $\C v$ a un supplémentaire $V$ tel que $\rho(e_1),\rho(e_2)$ envoient $V$ vers $V$. La réponse est non : prendre $\rho(e_1)=I$ et $\rho(e_2) = \pmatrix{1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1}$ qui n'a qu'un seul vecteur propre donc pas d'espace supplémentaire envoyé vers lui-même.
Les représentations d'algèbres (de Lie) de dimension finie ne marchent donc pas comme les représentations de groupes finis (= représentation de l'algèbre de groupe $\C[G]$)