Espace vectoriel

Bonjour à tous.

Énoncé.
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, $L$ une famille libre et $G$ une famille génératrice.
On peut toujours former une base de $E$ en complétant la famille libre $L$ par des vecteurs bien choisis dans la famille génératrice.

J'aimerais savoir si ma démonstration est raisonnable.
Posons $n=\dim_{\mathbb{K}}(E)$.
Considérons les familles $L=(e_{1},\ldots,e_{p})$ et $G=(u_{1},\ldots,u_{m})$ où $p\leq n$ et $m\geq n$.
Si $m=n$, la famille est une base car elle est libre et contient exactement $n$ vecteurs de $E$ donc la complétion est inutile.
Sinon elle contient au plus $n-1$ vecteurs de $E$, alors $L$ ne peut pas être une base donc une famille génératrice, on peut toujours trouver des vecteurs de $E$ qui ne sont pas combinaison linéaire des vecteurs de la famille $L$ càd $x \notin Vect(L)$.
Posons alors $x=\sum_{i=1}^n{\lambda_{i} u_{i}}$, nécessairement $x$ est non nul. il existe donc $i \in \{1,\ldots,n\}$ tel que $\lambda_{i} \neq 0$.
Supposons alors que pour tout $j \in \{1,\ldots,n\} \setminus \{i\},\ \lambda_{j} = 0$ , alors $x=\lambda_{i}u_{i}$.
Comme $x \notin Vect(L)$ et d'après le théorème d'extension d'une famille libre, $(e_{1},\ldots,x)$ est libre et contient $m+1$ vecteurs de $E$.
On a ainsi complété la famille $L$ à partir des vecteurs de la famille $G$ de sorte que $L$ contient $m+1$ vecteurs.
On réitère ce processus jusqu'à l'obtention d'une famille génératrice ; ce processus s'arrête nécessairement car il n'y a qu'un nombre fini de vecteurs dans la famille $G$.
D'où le résultat attendu.

Merci d'avance pour votre aide.