Sous-espaces stables

rira
rira
dans Algèbre
Bonjour,
Soit E un IK espace vectoriel de dimension n>=1
On considère un endomorphisme v de E nilpotent d'indice n.
Déterminer les sous-espaces stables par v.

Ce que j'ai fait.
1) J'ai démontré que l'endomorphisme v est cyclique.
2) j'ai trouvé le nombre de ces sous-espaces stables
Mais là pour les déterminer je bloque.
Si c'est possible je veux voudrais une méthode où on utilise le polynôme minimal.
Merci d'avance.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Indication : Comme $u$ est nilpotent, si $\ker (u^k) = \ker (u^{k+1})$ alors $u^k = 0$; donc tu as une suite strictement croissante de taille $n$ de sous-espaces stables qui t'est donnée.
  • rira
    rira
    Comment vous avez déduit "tu as une suite strictement croissante de taille n de sous-espaces stables qui t'est donnée."
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu peux regarder les $\ker(u^k)$ !


    (PS: tu peux me tutoyer, je ne suis pas roi :-D )
  • rira
    rira
    Comment on sait que la famille (ker uk)k contient n éléments ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    C'est le début de mon indication ! En fait tu en as même $n+1$ en prenant $0$
  • rira
    rira
    Si j'écris
    on a la famille (uk)n est stable par v
    et j'ai déjà démontrer qu'on aura n+1 sous espace stable
    alors les éléments de la famille seront les sous espaces stable de v avec {0}
  • poli
    poli
    v cyclique et nilpotent ?
  • rira
    rira
    Il est nilpotent et j'ai démontré qu'il est cyclique
  • poli
    poli
    Si je ne m'abuse, $v$ circulaire signifie qu'il existe $p \in \N^*$ tel que $v^p =v$. Si $v \neq 0$, il y a peu de chance qu'il soit nilpotent.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu t'abuses, et tu remarqueras que rira a bien écrit "cyclique" et pas "circulaire" (qui me semble d'ailleurs une terminologie très bizarre).
    Un endomorphisme cyclique d'un $K$-espace vectoriel $E$ est un endomorphisme $u$ tel qu'il existe un vecteur $x\in E$ tel que le plus petit sous-espace de $E$ contenant $x$ et stable par $u$ soit $E$ tout entier. Autrement dit, un endomorphisme $u$ tel que le $K[X]$-module donné par $E$ et $u$ soit cyclique.
  • poli
    poli
    Ok mea culpa. J'ai lu "cyclique" , transformé ça en "circulante" et écrit "circulaire"... Plus une mauvaise intuition. Un beau sac de nœuds dans ma petite tête.
    Désolé rira et merci Gabuzomeu.
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