Irréductibles dans $\Z/n\Z[X]$
Bonjour !
Je dois trouver les irréductibles unitaires de degré 2, 4 et 5 dans Z/3Z[X].
Unitaire : Le coefficient du monôme dominant est 1
Irréductible : On dit qu'un polynôme P de K[X] est irréductible s'il est non-constant, et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c'est-à-dire les polynômes de la forme kP, avec k appartient à K*.
Je ne comprends pas vraiment ce qu'est la notion d'irréductible.
Je ne vois pas comment on fait pour trouver les irréductibles de degré 2,4 et 5 dans Z/3Z[X]. J'ai du mal à visualiser ce qu'est Z/3Z[X]. Est-ce que quelqu'un pourrait m'apporter plus d'explications sur ce sujet ?
Merci d'avance !
Je dois trouver les irréductibles unitaires de degré 2, 4 et 5 dans Z/3Z[X].
Unitaire : Le coefficient du monôme dominant est 1
Irréductible : On dit qu'un polynôme P de K[X] est irréductible s'il est non-constant, et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c'est-à-dire les polynômes de la forme kP, avec k appartient à K*.
Je ne comprends pas vraiment ce qu'est la notion d'irréductible.
Je ne vois pas comment on fait pour trouver les irréductibles de degré 2,4 et 5 dans Z/3Z[X]. J'ai du mal à visualiser ce qu'est Z/3Z[X]. Est-ce que quelqu'un pourrait m'apporter plus d'explications sur ce sujet ?
Merci d'avance !
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Réponses
Combien peux-tu écrire de polynômes unitaires de degré 2 à coefficients dans {0,1,2} ?
Pour tester l’irréductibilité, essaie d’appliquer la formule classique pour déterminer les racines en remarquant que dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $0^2=0$, $1^2=1$ et $2^2=4=1$ donc les deux racines carrées de 1 sont 1 et 2 et 2 n’a pas de racine carrée dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.
-- Schnoebelen, Philippe
Du coup : Combien peux-tu écrire de polynômes unitaires de degré 2 à coefficients dans {0,1,2} ?
Ces pôlynomes sont de la forme : X^2 + bX + c avec (b,c) dans {0,1,2}
Donc il y a 3*3 = 9 possibilités différentes.
Les pôlynome irréductibles sont ceux qui n'ont pas de racines du coup ? Je vois comment faire pour les pôlynomes unitaires irréductibles de degrés 2 dans Z/3Z mais si je prends les polynôme de degrés 5 dans Z/6Z, cela fait beaucoup plus long à faire pour chaque cas non ?
Un polynôme irréductible a déjà un coefficient constant non nul, ça te fait un paquet de cas en moins à étudier, il te reste 54 cas. Élimine ceux qui ont 1 (facile, la somme des coefficients…) ou 2 (la somme alternée des coefficients…) comme racine.
Ensuite, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est un corps donc tu peux tenter des divisions euclidiennes par les irréductibles de degré 2 que tu as déjà trouvés avant.
-- Schnoebelen, Philippe
Est-ce que vous savez pourquoi cela suffit comme conditions ? (Le corrigé ne le dit pas...)
Pourquoi ces trois là suffisent (et sont nécessaires) ? Combien $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ a-t-il d'éléments ?
-- Schnoebelen, Philippe
Est-ce que pour trouver les irréductibles de degré 6 de Z/3Z, cette technique de chercher les P tel que $P(0) \neq 0$, $P(1) \neq 0$ et $P(-1)
\neq 0$ fonctionne ?
-- Schnoebelen, Philippe
Ici, il n'y a que pour les polynômes de degré 2 ou 3, qu'irréductible équivaut à pas de racine dans Z/3Z.
Mais à partir du degré 4 ce n'est plus vrai (cela a déjà était dit dans le fil) :
par exemple $X^4-X^2+1$ n'a pas de racine dans Z/3Z, pourtant il est réductible (rappel -1=2 dans Z/3Z)
de même pour $X^4+1$
Je pense qu'avant de t'attaquer aux degrés 4, 5, 6, faudrait trouver tous les degrés 2 unitaires irréductibles (il y en a 3) et les degrés 3 unitaires irréductibles (il y en a 8).
Ensuite tu pourras essayer les degrés 4 (il y en quand même 18 qui sont unitaires et irréductibles ... )
les degrés 5, il y en a 48... et les degrés 6, plus d'une centaine !
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant une virgule, mais toujours après. AD]
https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/avoir.php
C'est le corps à trois éléments (préposition).
https://la-conjugaison.nouvelobs.com/regles/grammaire/les-prepositions-29.php
https://math.stackexchange.com/questions/40811/number-of-monic-irreducible-polynomials-of-prime-degree-p-over-finite-fields