Divisibilité

\begin{align}\frac{x^{4a+3} +x^{4b+2}+x^{4c+1}+x^{4d}}{x^3+x^2+x+1}&=\frac{x^{4a+3} +x^{4b+2}+x^{4c+1}+x^{4d}}{\frac{1-x^4}{1-x}}\\
&=\frac{\left(x^{4a+3} +x^{4b+2}+x^{4c+1}+x^{4d}\right)\left(1-x\right)}{1-x^4}\\
&=\frac{\left(x^{4a+3} +x^{4b+2}+x^{4c+1}+x^{4d}\right)-\left(x^{4a+4} +x^{4b+3}+x^{4c+2}+x^{4d+1}\right)}{1-x^4}\\
&=\frac{(x^{4a}-x^{4b})x^3+(x^{4b}-x^{4c})x^2+(x^{4c}-x^{4d})x+(x^{4d}-x^{4a+4})}{1-x^4}\\
\end{align}

Pour $u,v\geq 0$ des entiers, $1-X^u$ est divisible par $1-X$ donc $X^u-X^v$ l'est aussi et donc $X^{4u}-X^{4v}$ est divisible par $1-X^4$ et il est le produit de $1-X^4$ par un polynôme à coefficients entiers.

Tous les termes du numérateur sont de la forme $\left(x^{4u}-x^{4v}\right)\times ...$ donc le numérateur est divisible par $1-x^4$ et le résultat est un polynôme à coefficients entiers.