Identités remarquables de degré 2
Bonjour à tous,
je me questionne sur l'intérêt de l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ dans le cas où $b$ est un nombre donné et non une inconnue. Cela n'est pas nécessaire pour résoudre l'équation $a^2-b^2=0 \Rightarrow a^2=b^2 \Rightarrow a = \pm b$.
Pour les deux autres, je vois bien que cela permet de résoudre les équation de degré 2 :
$x^2 + 2x -7 =0 \Leftrightarrow (x+1)^2 -8 =0$ Mais à partir de là, inutile d'utiliser la "troisième" identité remarquable puisqu'on peut directement résoudre $(x+1)^2=8 \Leftrightarrow x+1 = \pm \sqrt{8}$...
Dans le cadre purement littéral, elle permet entre autres, l'élaboration des formules des solutions d'une équation de degré $2$. $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
L'intérêt de faire factoriser des expressions du type $4x^2 - 9$ en troisième n'est-il qu'un simple entraînement sur des valeurs concrètes pour que ça devienne plus facile plus tard avec des expressions purement littérales (et encore, étant donné que la plupart des professeurs donnent sans justification la formule de $\Delta$). Comment vendre cette troisième identité au collège alors que même certains lycéens n'en ont pas l'utilité ?
Je ne suis pas un commercial des mathématiques sans scrupule : j'essaye de créer un besoin avant de vendre un outil qui y réponde. Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Bien cordialement.
je me questionne sur l'intérêt de l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ dans le cas où $b$ est un nombre donné et non une inconnue. Cela n'est pas nécessaire pour résoudre l'équation $a^2-b^2=0 \Rightarrow a^2=b^2 \Rightarrow a = \pm b$.
Pour les deux autres, je vois bien que cela permet de résoudre les équation de degré 2 :
$x^2 + 2x -7 =0 \Leftrightarrow (x+1)^2 -8 =0$ Mais à partir de là, inutile d'utiliser la "troisième" identité remarquable puisqu'on peut directement résoudre $(x+1)^2=8 \Leftrightarrow x+1 = \pm \sqrt{8}$...
Dans le cadre purement littéral, elle permet entre autres, l'élaboration des formules des solutions d'une équation de degré $2$. $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
L'intérêt de faire factoriser des expressions du type $4x^2 - 9$ en troisième n'est-il qu'un simple entraînement sur des valeurs concrètes pour que ça devienne plus facile plus tard avec des expressions purement littérales (et encore, étant donné que la plupart des professeurs donnent sans justification la formule de $\Delta$). Comment vendre cette troisième identité au collège alors que même certains lycéens n'en ont pas l'utilité ?
Je ne suis pas un commercial des mathématiques sans scrupule : j'essaye de créer un besoin avant de vendre un outil qui y réponde. Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Bien cordialement.
Réponses
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Justement je crois que si on commence par vouloir « vendre » des identités, on se trompe.
Allez, j’ose un petit (tout petit) argument : pour chasser des dénominateurs avec radicaux, ça peut servir.
Mot clé : expression conjuguée. On embraye avec les complexes. Chasser le complexe non réel du dénominateur.
Mais je le redis : je n’aime pas cette approche « faut connaître ça parce que ça sert ».
D’ailleurs si on pousse la discussion, où s’arrête-t-elle ?
-Faut savoir faire A pour obtenir B
-Et à quoi sert B ?
-Pour obtenir C.
-Et à quoi sert C ?
...
Remarque : dans les nouveaux programmes du collège*, c’est justement $a^2-b^2$ qui est restée explicitement.
Bon, j’admets que ce n’est pas un argument convaincant (*).
Enfin, le radical n’est pas propre.
Dans $\mathbb R$, ok, quand ça existe.
Dans $\mathbb C\setminus \mathbb R^+$, ça n’a plus de sens et on n’utilise pas le symbole $\sqrt{\phantom{d}}$ en général.
Dans d’autres ensembles $\mathbb Z / n\mathbb Z$ non plus.
Ainsi, notre troisième identité remarquable est naturellement utilisée. -
Bonjour Dom et merci beaucoup pour ta réponse.
Je dois bien avouer que je ne pensais plus aux dénominateurs avec radicaux. Je suis depuis plusieurs années focalisé sur l'enseignement en collège et oublié quelques parties des programmes de lycée d'autant que je n'ai jamais travaillé avec des sections scientifiques.
En effet, l'argument sur les programmes du collège ne m'a pas convaincu, inutile d'en débattre.
En ce qui concerne l'approche, je ne vois pas comment m'y prendre autrement pour l'instant (je suis relativement jeune et n'ai pas un recul énorme sur la chose). J'essaye de trouver un sens concret à ce qu'on doit leur apprendre (c'est parfois très dur). J'ai le sentiment qu'à cet âge, ils ne sont pour la plupart pas dans le délire d'obtenir des connaissances abstraites. Lorsqu'un élève me dit : Msieur, pourquoi vous nous enseignez ça, ça va servir à quoi ? Même si pour moi, ça a un intérêt, je reconnais qu'intérieurement je me dis "à toi, ça ne te servira peut-être pas en effet". C'est pas moi qui vais redéfinir les programmes scolaires d'autant que si ça se trouve, l'apprentissage de certaines notions à un sens que je n'arrive juste pas à percevoir.
J'ai du mal avec le fait de demander à des jeunes d'apprendre des choses sans leur trouver un intérêt.
Comment vois-tu les choses Dom ? -
Bonjour Shinitchi.
Tu n'as pas de chance, 95 % de ce qu'on enseigne au collège ne servira jamais à une bonne moitié des collégiens. Et pas seulement en maths ... Ta logique serait alors de ne pas faire cours, puisque tu ne veux pas "vendre" ce qui ne servira pas.
Le vrai problème est de faire utiliser l'identité même dans des cas simples (x²-4), sans que les élèves automatisent trop vite les réponses en oubliant la règle (c'est elle qui servira beaucoup à ceux qui feront des études scientifiques); donc il faut de temps en temps donner des cas moins simples, comme 4x²-1 ou (2x+1)²-16 voire (3x+1)²-4x² ou (astuce!) (2x-1)²-4x².
Cordialement. -
En complément :
99% des lycéens en difficultés en maths le sont par non apprentissage des règles de base, à commencer par les règles de priorité des opérations. Et les calculs de troisième servent aussi à confirmer ces apprentissages (par exemple le décodage de 4x²). -
Bonjour gerard0 et merci pour ta réponse,
j'ai dû mal m'exprimer. En tant que professeur de mathématiques, il me semble essentiel d'être capable d'expliquer à quoi peut servir une chose qu'on lui apprend. Lui montrer que c'est utile (que lui poursuive les maths ou pas c'est son choix).
Je suis d'accord pour les cas moins simples du type purement littéral où $a$ et $b$ dépendent de $x$ et justifient la factorisation comme $(3x+1)^2-4x^2$.
Je suis aussi d'accord sur le fait que l'appliquer sur des exemples simples a pour objectif de familiariser l'élève avec la technique ou permettre d'analyser $4x^2$ comme $2^2 \times x^2$. -
Salut,
J'aime bien la chose suivante : Disons que je souhaites calculer $65^2$ et bien je fais $65^2-5^2 = 60 \times 70 = 6 \times 7 \times 100 = 4200$ et donc $65^2 = 4225$, de tête avec les tables de multiplications :-D -
Comment je vois les choses ?
Assez simplement : "Oui, ça ne sert à rien pour votre vie. Vous savez déjà acheter le pain. Savoir qu'une révolution a eu lieu en 1789 ne sert à rien. Savoir que Barcelone est en Espagne ne sert à rien. Savoir parler anglais ne sert à rien. Savoir appliquer le théorème de Pythagore ne sert à rien. Savoir jeter un javelot ne sert à rien. Savoir ce qu'est une étude de Chopin ne sert à rien. Savoir des rudiments de la reproduction de la grenouille ne sert à rien. Savoir que certaines colles sont utilisées pour le bois et d'autres pour le papier ne sert à rien.Tout ce que l'on apprend au collège, c'est de la culture générale. C'est bizarre la culture générale. Cela ne sert à rien mais c'est indispensable."
Cela décomplexe absolument tout.
Une fois que ce postulat est accepté, on peut répondre à quoi sert chaque chose précédent le "ne sert à rien".
[small]Petite digression sur "l'anglais qui ne sert à rien" :
J'entends déjà les "Ha non, ça quand même, ça sert !".
C'est le piège que tendent des profs d'anglais à des profs d'allemand, leurs collègues.
M. English : "Il faut apprendre l'anglais car c'est une des langues internationales".
Cet argument, s'il est vraiment pertinent, doit conduire à la disparition de l'apprentissage de l'allemand, l'italien, l'espagnol, le néerlandais, le russe, etc. C'est ce qui se passe d'ailleurs.
Quel va être l'argument des autres profs de langue ?
Mon avis est encore de dire qu'apprendre l'anglais, c'est de la culture générale.[/small] -
Je te remercie encore une fois pour ta réponse Dom,
je dois bien reconnaître que vu sous cet angle, tout a du sens. Je manque parfois de réparti face à certaines questions d'élèves mais je ne manquerai pas de te citer à l'avenir, ou de reformuler parce que je n'apprendrai pas par coeur ta réponse.
Très sincèrement, tu m'as ouvert les yeux et je t'en remercie. J'apprécie ta façon de voir les choses qui sont comme tu le soulignes, on ne peut plus simples. -
Bonjour Goleon et merci pour ta réponse.
Même si la factorisation n'est pas indispensable pour réaliser le calcul, elle permet en effet de gagner beaucoup de temps. Je m'en servirai certainement pour faire un exercice.
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Bonjour!
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