Espaces vectoriels
Soient $F_{1},\ldots,F_{p}$ des sous-espaces vectoriels d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $F_{1}+\cdots+F_{p}=E$.
Montrer qu'il existe des sous-espaces vectoriels $G_{1},\ldots,G_{p}$ tels que $G_{k} \subset F_{k}$ pour tout $k \in \{1,\ldots,p\}$ et les $G_{1},\ldots,G_{p}$ sont supplémentaires dans $E$.
Puis-je avoir une indication ?
Montrer qu'il existe des sous-espaces vectoriels $G_{1},\ldots,G_{p}$ tels que $G_{k} \subset F_{k}$ pour tout $k \in \{1,\ldots,p\}$ et les $G_{1},\ldots,G_{p}$ sont supplémentaires dans $E$.
Puis-je avoir une indication ?
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Réponses
Commence avec $p=2$ et élimine de $G_2$ la partie commune avec $G_1$, puis généralise (récurrence).
C'est un peu pénible parce qu'il y a des cas à examiner (déjà $G_1=E$ ou $G_1=\{0_E\}$), mais ça fonctionne bien.
Bon travail !
@Poirot et @Gerard0,pour le cas $p=2$, je commence par d'abord écrire $F_{1}+F_{2}=E$.
Puis en posant $G_{1}=F_{1}$, je trouve que $G_{2}$ est le supplémentaire de $F_{1}\cap F_{2}$ dans $F_{2}$.
On a donc $F_{1}+F_{2}=F_{1}+(F_{1}\cap F_{2})+G_{2}=F_{1}+G_{2}=G_{1}+G_{2}$.
Mais je n'arrive pas à établir que $G_{1}$ et $G_{2}$ sont en somme directe :-?
Pourtant c'est classique :
Tu prends un élément de $G_1\cap G_2$. Il est dans $G_2 \subset F_2$ et dans $ G_1=F_1$ donc dans $F_1\cap F_2$. Quel est le seul élément de $G_2$ qui est dans $F_1\cap F_2$ ?
Cordialement.
NB : Plus long à écrire qu'à voir !
Soit tu appliques les définitions et théorèmes et tu écris, soit "tu peux bien écrire" n'importe quoi, ça n'est pas des maths.
Cordialement.
Pour ce que tu viens de me dire,effectivement c'est juste je n'ai pas assez réfléchi je crois.
Soit $x \in G_{1} \subset G_{2}$ alors $x \in G_{2}$. mais $G_{2}$ est dans $F_{2}$ , donc $x \in F_{2}$. Et comme $x \in F_{1}$, alors $x \in F_{1} \subset F_{2}$.
Mais comme $F_{1} \subset F_{2}$ et $G_{2}$ sont supplémentaires, on peut conclure que $x=0$.
Soit:
$p \geq 2$
$HR(p)$: " il existe des sous-espaces vectoriels $G_{k} \subset F_{k}$ tel que $G_{1},...,G_{k}$ sont supplémentaires dans $E$ ,pour $k\in \{1,...,p\}$"
Pour $p=2$ on a le résultat voulu.
Supposons que $HR(p-1)$ est vrai pour un certain rang $p\geq 3$.
Montrons que $HR(p)$ est vraie.
Soit $F_{1},...,F_{p}$ des sous-espaces vectoriels de $E$.
$G_{p}$ est le supplémentaire de $(F_{1}+...+F_{p-1}) \cap F_{p}$ dans $F_{p}$.
Donc on a $F_{1}+...+F_{p-1}+F_{p}=F_{1}+...+F_{p-1}+((F_{1}+...+F_{p-1}) \cap F_{p})+G_{p}$.
Mais comme $(F_{1}+...+F_{p-1}) \cap F_{p}) \subset F_{1}+...+F_{p-1}$.
On a alors $F_{1}+...+F_{p-1}+F_{p}=F_{1}+...+F_{p-1}+G_{p}$
en utilisant $HR(p-1)$, on a $F_{1}+...+F_{p-1}+F_{p}=G_{1}+...+G_{p-1}+G_{p}$.
Soit $x \in \cap_{i=1}^p G_{i}$. comme $x \in \cap_{i=1}^{p-1} G_{i}$ alors $x\in F_{1}+...+F_{p-1}$ et comme $x\in G_{p}$, on a donc $x \in (F_{1}+...+F_{p-1})\cap F_{p}$ or $(F_{1}+...+F_{p-1})\cap F_{p}$ et $G_{p}$ sont supplémentaires donc $x=0$.
Alors on a $G_{1},...,G_{p}$ sont supplémentaires dans $E$.
On en déduit que $HR(p)$ est vraie.
Conclusion : D'après le principe de récurrence sur $\mathbb{N}$, $HR(p)$ est vraie pour $p \geq 2$
$(v_{i,j})_{i,j}$ est une famille génératrice, extrais un sous-ensemble qui est une base
$$E = \bigoplus_{l=1}^d v_{a_l,b_l} K =\bigoplus_{i=1}^I\bigoplus_{a_l=i} v_{a_l,b_l}K=\bigoplus_{i=1}^I G_i$$