Corps parfaits.

Je pense que c'est ceci que tu cherches.

Un corps parfait c'est un corps de caractéristique $0$ ou un corps de caractéristique $p$ qui contient les racines $p$-èmes de tous ses éléments, donc $K=K^{1/p}$ donc $K^p = K$ donc le Frobenius est un automorphisme, donc toutes les extensions algébriques sont séparables.

Si $char(K) = p$ alors $K^{1/p^\infty}$ est un corps parfait. Il est finiement généré (sur $F_p$) ssi $K$ est un corps fini.

C'est important parce que les extensions finies de $F_p(X)$ mélangent des extensions séparables et purement inséparables (celles de la forme $L(a^{1/p})/L$) ce qui complique les choses notamment en terme de nombre de générateurs (le théorème de l'élément primitif ne marche que pour les extensions séparables), de groupe de Galois et de sous-corps fixé, de nombre de sous-extensions ($F_p(X,Y)/F_p(X^p,Y^p)$ a une infinité de sous-extensions)...