Arcsinus arcsinum fricat.
Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
dans Algèbre
Bonjour
Pour trouver le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$, on peut étudier la fonction ou bien raisonner sur les triangles rectangles (comme indiqué dans un autre message posté ce jour).
On peut aussi employer une méthode algébrique, appelée parfois méthode indirecte :
on pose $m = \sin(x) + \cos(x)$ et $u = \sin(x)$ avec $0 < x < 90°$, puis on écrit
$m = u + \sqrt{1 - u^2}$
$(m - u)^2 = 1 - u^2$
$2u^2 - 2mu + m^2 - 1 = 0$.
Le trinôme n'a de racines que si $m^2 \le 2$ ; le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$ est donc $\sqrt 2$, obtenu pour $x = \pi/4$.
A+
Pour trouver le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$, on peut étudier la fonction ou bien raisonner sur les triangles rectangles (comme indiqué dans un autre message posté ce jour).
On peut aussi employer une méthode algébrique, appelée parfois méthode indirecte :
on pose $m = \sin(x) + \cos(x)$ et $u = \sin(x)$ avec $0 < x < 90°$, puis on écrit
$m = u + \sqrt{1 - u^2}$
$(m - u)^2 = 1 - u^2$
$2u^2 - 2mu + m^2 - 1 = 0$.
Le trinôme n'a de racines que si $m^2 \le 2$ ; le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$ est donc $\sqrt 2$, obtenu pour $x = \pi/4$.
A+
Réponses
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Ou sinon : $\sin(x)+\cos(x) = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)\right) = \sqrt{2} \cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
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Guego : ta méthode tient en une ligne quand on connait déjà le résultat qu'on cherche, mais comment l'as-tu trouvé ?
-
Re
D'où quatre solutions :
- une trigonométrique
- une algébrique
- une analytique
- une géométrique
Qui a une solution probabiliste ?
La méthode indirecte permet, entre autres, de trouver les extrema des fractions rationnelles quotients de deux trinômes, ou d'un trinôme et d'un binôme, sans dérivation.
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Homo Topi : quand tu as $a\cos(x)+b\sin(x)$, mettre $\sqrt{a^2+b^2}$ en facteur et faire intervenir $\alpha$ tel que $\cos(\alpha) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin(\alpha) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
-
Encore une autre : par inégalité de Cauchy-Schwarz : $a\cos(x)+b\sin(x) \leqslant \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}$, soit $a\cos(x)+b\sin(x) \leqslant \sqrt{a^2+b^2}$.
-
Rechercher le maximum de cette expression revient à rechercher celui de son carré, soit celui de $\sin(2x)$.
-
On peut aussi écrire $\cos x$ et $\sin x$ en fonction de $t=\tan(x/2)$ : \[\cos x+\sin x=\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1+2t-t^2}{1+t^2}=:g(t),\]puis étudier cette fonction et c'est passablement pénible...
PS : correction du numérateur. -
RE
Qui nous concoctera un petit problème de math-sup présentant toutes ces démonstrations (sauf celle à base de $tan(x/2)$ qui est lourde) plus toutes celles à venir ?
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Il s'agit d'optimiser la fonctionnelle $x+y$ sur le cercle unité. Je me souviens dans mon jeune temps qu'on faisait ça au collège, graphiquement. Il s'agit ici de trouver une droite perpendiculaire à la première bissectrice, rencontrant le cercle unité et d'ordonnée à l'origine la plus grande possible. La résolution en image :
-
supp
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Ce n'est peut-être pas une preuve en soi, mais j'aime beaucoup l'idée d'agrémenter la preuve formelle par un truc visuel qui montre d'où l'idée est venue.
C'est un truc sur lequel je râle souvent... dans une démonstration destinée à des étudiants de maths, on montre purement l'enchaînement des bonnes idées qui permettent de finir la preuve sans passer trop de temps dessus, et pas ce qui a permis de trouver ces idées en premier lieu. -
On a une idée encore plus heuristique : il est étonnant que « la nature » maximise quelque chose avec une forme asymétrique.
Certes on sort bientôt des maths... -
bonsoir
on a l'idée aussitôt de factoriser l'expression (comme l'a fait Guego)
$sinx + cosx = \sqrt{2}.sin(\frac{\pi}{4}+x)$
qui admet un maximum égal à $\sqrt{2}$ pour $x = \frac{\pi}{4}$
cordialement -
Exo: montrer que l'ensemble des fonctions réelles de la forme $x\mapsto \alpha \cdot \sin \left ( x + \beta\right )$ où $\alpha, \beta$ parcourent l'ensemble des nombres réels, est un sous-espace vectoriel de $\R^{\R}$ (édité) contenant $\cos$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
Homo Topi:
En fait, c'est un problème de physique. On s'intéresse à l'amplitude maximum de l'onde résultant quand on additionne deux ondes. -
Je sais, mais ce n'est pas avec ça que j'aurais pensé à l'astuce.
-
supp
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