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Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$

Envoyé par Piteux_gore 
Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
Bonjour

Pour trouver le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$, on peut étudier la fonction ou bien raisonner sur les triangles rectangles (comme indiqué dans un autre message posté ce jour).

On peut aussi employer une méthode algébrique, appelée parfois méthode indirecte :
on pose $m = \sin(x) + \cos(x)$ et $u = \sin(x)$ avec $0 < x < 90°$, puis on écrit
$m = u + \sqrt{1 - u^2}$
$(m - u)^2 = 1 - u^2$
$2u^2 - 2mu + m^2 - 1 = 0$.
Le trinôme n'a de racines que si $m^2 \le 2$ ; le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$ est donc $\sqrt 2$, obtenu pour $x = \pi/4$.

A+



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
Ou sinon : $\sin(x)+\cos(x) = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)\right) = \sqrt{2} \cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
Guego : ta méthode tient en une ligne quand on connait déjà le résultat qu'on cherche, mais comment l'as-tu trouvé ?

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
Re

D'où quatre solutions :
- une trigonométrique
- une algébrique
- une analytique
- une géométrique
Qui a une solution probabiliste ?

La méthode indirecte permet, entre autres, de trouver les extrema des fractions rationnelles quotients de deux trinômes, ou d'un trinôme et d'un binôme, sans dérivation.

A+
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
Homo Topi : quand tu as $a\cos(x)+b\sin(x)$, mettre $\sqrt{a^2+b^2}$ en facteur et faire intervenir $\alpha$ tel que $\cos(\alpha) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin(\alpha) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
Encore une autre : par inégalité de Cauchy-Schwarz : $a\cos(x)+b\sin(x) \leqslant \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}$, soit $a\cos(x)+b\sin(x) \leqslant \sqrt{a^2+b^2}$.
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
avatar
Rechercher le maximum de cette expression revient à rechercher celui de son carré, soit celui de $\sin(2x)$.
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
On peut aussi écrire $\cos x$ et $\sin x$ en fonction de $t=\tan(x/2)$ : \[\cos x+\sin x=\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1+2t-t^2}{1+t^2}=:g(t),\]puis étudier cette fonction et c'est passablement pénible...

PS : correction du numérateur.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Math Coss.
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
avatar
Bonjour,

@Math Coss : petite erreur de calcul au numérateur, c’est $1+2 t-t^2.$
Re: Maximum de sin(x) + cos(x)
il y a huit mois
RE

Qui nous concoctera un petit problème de math-sup présentant toutes ces démonstrations (sauf celle à base de $tan(x/2)$ qui est lourde) plus toutes celles à venir ?

A+



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Piteux_gore.
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
Il s'agit d'optimiser la fonctionnelle $x+y$ sur le cercle unité. Je me souviens dans mon jeune temps qu'on faisait ça au collège, graphiquement. Il s'agit ici de trouver une droite perpendiculaire à la première bissectrice, rencontrant le cercle unité et d'ordonnée à l'origine la plus grande possible. La résolution en image :


Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
Bonjour,

On peut aussi se convaincre visuellement que le rectangle de périmètre maximal inscrit dans un cercle (de rayon $1$ si on veut) est un carré. Ceci donne l'argument qui réalise le maximum. Ce n'est bien sûr pas une preuve.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
Ce n'est peut-être pas une preuve en soi, mais j'aime beaucoup l'idée d'agrémenter la preuve formelle par un truc visuel qui montre d'où l'idée est venue.

C'est un truc sur lequel je râle souvent... dans une démonstration destinée à des étudiants de maths, on montre purement l'enchaînement des bonnes idées qui permettent de finir la preuve sans passer trop de temps dessus, et pas ce qui a permis de trouver ces idées en premier lieu.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
On a une idée encore plus heuristique : il est étonnant que « la nature » maximise quelque chose avec une forme asymétrique.
Certes on sort bientôt des maths...
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
bonsoir

on a l'idée aussitôt de factoriser l'expression (comme l'a fait Guego)

$sinx + cosx = \sqrt{2}.sin(\frac{\pi}{4}+x)$

qui admet un maximum égal à $\sqrt{2}$ pour $x = \frac{\pi}{4}$

cordialement
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
Exo: montrer que l'ensemble des fonctions réelles de la forme $x\mapsto \alpha \cdot \sin \left ( x + \beta\right )$ où $\alpha, \beta$ parcourent l'ensemble des nombres réels, est un sous-espace vectoriel de $\R^{\R}$ (édité) contenant $\cos$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
avatar
Homo Topi:

En fait, c'est un problème de physique. On s'intéresse à l'amplitude maximum de l'onde résultant quand on additionne deux ondes.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
Je sais, mais ce n'est pas avec ça que j'aurais pensé à l'astuce.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
il y a huit mois
@Foys
certainement une coquille à corriger...
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