L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Maximum de $\sin(x) + \cos(x)$
dans Algèbre
Bonjour
Pour trouver le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$, on peut étudier la fonction ou bien raisonner sur les triangles rectangles (comme indiqué dans un autre message posté ce jour).
On peut aussi employer une méthode algébrique, appelée parfois méthode indirecte :
on pose $m = \sin(x) + \cos(x)$ et $u = \sin(x)$ avec $0 < x < 90°$, puis on écrit
$m = u + \sqrt{1 - u^2}$
$(m - u)^2 = 1 - u^2$
$2u^2 - 2mu + m^2 - 1 = 0$.
Le trinôme n'a de racines que si $m^2 \le 2$ ; le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$ est donc $\sqrt 2$, obtenu pour $x = \pi/4$.
A+
Pour trouver le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$, on peut étudier la fonction ou bien raisonner sur les triangles rectangles (comme indiqué dans un autre message posté ce jour).
On peut aussi employer une méthode algébrique, appelée parfois méthode indirecte :
on pose $m = \sin(x) + \cos(x)$ et $u = \sin(x)$ avec $0 < x < 90°$, puis on écrit
$m = u + \sqrt{1 - u^2}$
$(m - u)^2 = 1 - u^2$
$2u^2 - 2mu + m^2 - 1 = 0$.
Le trinôme n'a de racines que si $m^2 \le 2$ ; le maximum de $\sin(x) + \cos(x)$ est donc $\sqrt 2$, obtenu pour $x = \pi/4$.
A+
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Réponses
D'où quatre solutions :
- une trigonométrique
- une algébrique
- une analytique
- une géométrique
Qui a une solution probabiliste ?
La méthode indirecte permet, entre autres, de trouver les extrema des fractions rationnelles quotients de deux trinômes, ou d'un trinôme et d'un binôme, sans dérivation.
A+
PS : correction du numérateur.
@Math Coss : petite erreur de calcul au numérateur, c’est $1+2 t-t^2.$
Qui nous concoctera un petit problème de math-sup présentant toutes ces démonstrations (sauf celle à base de $tan(x/2)$ qui est lourde) plus toutes celles à venir ?
A+
C'est un truc sur lequel je râle souvent... dans une démonstration destinée à des étudiants de maths, on montre purement l'enchaînement des bonnes idées qui permettent de finir la preuve sans passer trop de temps dessus, et pas ce qui a permis de trouver ces idées en premier lieu.
Certes on sort bientôt des maths...
on a l'idée aussitôt de factoriser l'expression (comme l'a fait Guego)
$sinx + cosx = \sqrt{2}.sin(\frac{\pi}{4}+x)$
qui admet un maximum égal à $\sqrt{2}$ pour $x = \frac{\pi}{4}$
cordialement
En fait, c'est un problème de physique. On s'intéresse à l'amplitude maximum de l'onde résultant quand on additionne deux ondes.