Énoncé mal rédigé (Le sommeil apparemment). C'est plutôt soit soit $G$ un groupe d'ordre $p^3$, $p$ premier. On suppose qu'il existe $x\in G$ d'ordre $p^2$ on demande de montrer que $H=\,<x>$ est normal dans $G$.
PS: Sans utiliser le fait que tout groupe d'indice premier est normal dans $G$.
Un sous-groupe d'indice premier n'est pas forcément normal, c'est un sous-groupe d'indice le plus petit premier divisant $G$ qui est forcément normal. (Par exemple si tu prends un $2$-Sylow de $\mathfrak A_4$, il n'est pas normal alors qu'il a pour indice $3$)
Merci Maxtimax
Je traînais cette erreur depuis.
Mais le problème que pose cet exercice reste toujours problématique pour moi et j'aimerais avoir de l'aide pour le résoudre.
Maintenant je vais d'abord me pencher sur ce que tu viens de me donner afin de le démonter.
un $2$-Sylow de $\mathfrak A_4$, il n'est pas normal alors qu'il a pour indice $3$
Tu voulais sans doute parler de $\mathfrak S_3$ dont un $2$-Sylow est d'indice $3$ et non distingué,
parce que $\mathfrak A_4$ admet un unique $2$-Sylow, donc distingué, isomorphe à $C_2\times C_2$ (c'est le sous-groupe de Klein de $\mathfrak A_4$).
Alain
AD : oui tu as raison, je me suis gourré dans mes calculs, celui de $\mathfrak A_4$ est bien distingué !
Bon, il n'empêche qu'il y a des contrexemples comme celui que tu indiques justement ;-)
Bonjour,
Concernant le "second" énoncé de Poli 12, je pense que ce qui suit convient :
$$\boxed{\text{Tout sous-groupe} \:H\: \text{ d'ordre}\: p^{n-1}\:\text{ d'un groupe}\: G\:\text {d'ordre} \:p^n\:\text{ est distingué dans}\: G.}$$
Supposons que $H$ ne soit pas normal dans $G$. Alors, si $\Omega$ désigne l'ensemble des conjugués de $H$ dans $G$, on a :
$$^{\#} \Omega = [ G: \mathcal N_G (H)] \equiv 0 \mod p.$$
Ainsi, dans l'action de $H$ sur $\:\Omega\:$ par automorphismes intérieurs, $\{H\}$ n'est pas l'unique orbite de $\Omega$ de cardinal $1.$
$\exists x \in G\;$ tel que $ \:\: xHx^{-1} \neq H,\:\: \forall h \in H, \:\: h(xHx^{-1}) h^{-1} = xHx^{-1}.$ Donc: $\: \forall h \in H,\: x^{-1}Hx \in \mathcal N _G(H) \:\text{et}\: \exists h \in H\:\:\text{tel que}\:\: x^{-1}hx \notin H.$
$H$ étant un sous-groupe maximal de $G$, on obtient que $\mathcal N_G(H) = G$, et cela contredit l'hypothèse: "$H$ n'est pas normal dans $G$"
Pour revenir à la situation évoquée par Poli 12 et histoire d'en rajouter en répondant à une question qui n'a pas été posée:
Tout groupe d'ordre $p^3$ contenant un élément d'ordre $p^2$ est isomorphe à l'un des trois groupes suivants: $\Z/p^3\Z,\quad\ \Z/p^2\Z\otimes \Z/p\Z,\ \quad(G,\star)$, où $$\quad G = \Z/p^2\Z \rtimes \Z/p\Z,\quad \quad (a,x) \star (b,y) = (a +(p+1)^x\: b,\:\: x+y).$$
Réponses
L'énoncé est faux. $(\Z/p\Z)^3$ est un contre-exemple.
PS: Sans utiliser le fait que tout groupe d'indice premier est normal dans $G$.
Je traînais cette erreur depuis.
Mais le problème que pose cet exercice reste toujours problématique pour moi et j'aimerais avoir de l'aide pour le résoudre.
Maintenant je vais d'abord me pencher sur ce que tu viens de me donner afin de le démonter.
Tu voulais sans doute parler de $\mathfrak S_3$ dont un $2$-Sylow est d'indice $3$ et non distingué,
parce que $\mathfrak A_4$ admet un unique $2$-Sylow, donc distingué, isomorphe à $C_2\times C_2$ (c'est le sous-groupe de Klein de $\mathfrak A_4$).
Alain
Bon, il n'empêche qu'il y a des contrexemples comme celui que tu indiques justement ;-)
Concernant le "second" énoncé de Poli 12, je pense que ce qui suit convient :
$$\boxed{\text{Tout sous-groupe} \:H\: \text{ d'ordre}\: p^{n-1}\:\text{ d'un groupe}\: G\:\text {d'ordre} \:p^n\:\text{ est distingué dans}\: G.}$$
Supposons que $H$ ne soit pas normal dans $G$. Alors, si $\Omega$ désigne l'ensemble des conjugués de $H$ dans $G$, on a :
$$^{\#} \Omega = [ G: \mathcal N_G (H)] \equiv 0 \mod p.$$
Ainsi, dans l'action de $H$ sur $\:\Omega\:$ par automorphismes intérieurs, $\{H\}$ n'est pas l'unique orbite de $\Omega$ de cardinal $1.$
$\exists x \in G\;$ tel que $ \:\: xHx^{-1} \neq H,\:\: \forall h \in H, \:\: h(xHx^{-1}) h^{-1} = xHx^{-1}.$ Donc: $\: \forall h \in H,\: x^{-1}Hx \in \mathcal N _G(H) \:\text{et}\: \exists h \in H\:\:\text{tel que}\:\: x^{-1}hx \notin H.$
$H$ étant un sous-groupe maximal de $G$, on obtient que $\mathcal N_G(H) = G$, et cela contredit l'hypothèse: "$H$ n'est pas normal dans $G$"
Pour revenir à la situation évoquée par Poli 12 et histoire d'en rajouter en répondant à une question qui n'a pas été posée:
Tout groupe d'ordre $p^3$ contenant un élément d'ordre $p^2$ est isomorphe à l'un des trois groupes suivants: $\Z/p^3\Z,\quad\ \Z/p^2\Z\otimes \Z/p\Z,\ \quad(G,\star)$, où $$\quad G = \Z/p^2\Z \rtimes \Z/p\Z,\quad \quad (a,x) \star (b,y) = (a +(p+1)^x\: b,\:\: x+y).$$