Algèbre homologie, catégorie, foncteur dérivé

Je réponds d'abord à la deuxième question. Le mot-clé pour ça c'est "cohomologie de groupes"; en fait si les groupes d'homotopie supérieurs de $X$ sont triviaux et $X$ gentil (variété complexe suffit largement, CW-complexe est le bon contexte) alors $X$ est homotopiquement équivalent (sans hypothèse sur $X$ on obtient faiblement homotopiquement équivalent, ce qui suffit aussi en soi, mais bon je préfère simplifier la discussion) à $B G$ où $G= \pi_1(X,x)$, l'espace classifiant de $G$.

Il a un revêtement universel $EG$ qui est aussi gentil et a tous sous groupes d'homotopie supérieurs et son groupe fondamental triviaux , et est donc contractile. De plus $G$ agit librement dessus, donc il agit librement sur le complexe de chaînes singulières de $EG$ et $H^*(X,L)$ est parfois défini comme (je ne sais pas comment tu l'as défini) la cohomologie du complexe $\hom_G( C_*(EG), V)$. Sauf que $C_*(EG)$ c'est une résolution $G$-libre (donc $G$-projective) de $\mathbb Z$ (qu'elle soit $G$ libre est évident car l'action de $G$ est libre, et que ce soit un complexe exact vient de ce que $EG$ est contractile donc a une homologie nulle sauf en degré $0$), donc cette cohomologie est précisément $H^*(G, V)$; d'où la coïncidence lorsque $X$ a tous sous groupes d'homotopie supérieurs triviaux.

Je vais maintenant utiliser cette réponse à la deuxième question pour tout d'abord dire pourquoi c'est pas raisonnable que $H^*(X,L) = H^* (\pi_1(X,x), V)$ et ensuite le justifier. C'est pas raisonnable parce que par filtration de Postnikov tu as une morphisme $X\to B\pi_1$ qui induit un iso sur $\pi_1$ (c'est un gros mot pour pas grand chose ici : il suffit de prendre $X$ et de rajouter des cellules pour tuer $\pi_2$, puis des cellules pour tuer $\pi_3$, etc. ça te donne un $Y$ équivalent à $B\pi_1$ avec un morphisme $X\to Y$ qui induit un iso sur $\pi_1$), et qui, si on avait ton isomorphisme, induirait un isomorphisme en cohomologie avec des coefficients tordus quelconques : une version de Hurewicz implique que $X$ et $B\pi_1$ sont alors homotopiquement équivalents, donc tout espace aurait des groupes d'homotopie supérieurs triviaux : ce n'est pas raisonnable.

En fait ma preuve montre plus généralement qu'on a ton iso si et seulement si $X$ n'a pas d'homotopie supérieure.

Maintenant, pourquoi en vrai on n'a pas d'iso, qu'est-ce qui flanche dans ton argument. A ce niveau ça va dépendre un peu de ta définition de système local, et de cohomologie à coefficients là-dedans.

Si tu dis que c'est un faisceau localement constant, et que la cohomologie est la cohomologie des faisceaux, alors le truc c'est que tu calcules le foncteur dérivé dans $Sh(X)$, pas dans $Loc(X)$ ! donc aucune raison de coïncider (tu as beaucoup plus de trucs à gauche qu'à droite, c'est comme si tu calcules le foncteur dérivé de $\mathbb F_p\otimes -$ dans les $\mathbb F_p$-espaces vectoriels ou dans les $\mathbb Z$-modules, c'est très différent)

Si tu donnes la définition que j'ai donnée via le revêtement universel de $X$, alors là c'est à toi d'expliquer en quoi $H^*(X,L)$ c'est les foncteurs dérivés de $H^0(X,L)$, et comme $C_*$ du revêtement universel est en général loin d'être exact, ton machin est loin d'être un foncteur dérivé (sauf éventuellement en $H^1$ )

Mais globalement tu as parfaitement raison que si $F: A\to B$ est une équivalence entre catégories abéliennes, et disons $G:B\to C$ est un foncteur exact à gauche entre catégories abéliennes, alors $R(G\circ F) \cong RG\circ F$ (même avant de prendre la cohomologie)

Si tu prends $X=S^2$ et $L=V=\mathbb{C}$ ça donnerait quoi?...
M.

Oui bien sûr, je n'ai pas pensé à préciser (je cherchais juste à expliquer où ça ne marchait pas) mais "n'importe quel" espace simplement connexe fournit un contrexemple (je mets des guillemets parce qu'il faut qu'il ait une homologie non triviale, ce qui revient, si c'est un CW-complexe, à ce qu'il ne soit pas contractile). Si on veut des exemples précis, $\mathbb CP^\infty;\ \ S^n,\ n \geq 1;\ \ S^2\vee S^4;\ \ldots$