Stable sous une action
Bonjour
Il s'agit d'une plutôt d'une question de vocabulaire.
Soit $G$ un groupe opérant (à gauche) sur un ensemble $X$. Soit $Y\subset X$. Lorsque l'on dit que $Y$ est stable sous l'action de $G$ sur $X$, est-ce que cela signifie que la restriction de l'action $G\times X\longrightarrow X$ à $G\times Y$ est à valeurs dans $Y$ ? Cela n'est malheureusement pas précisé dans le cours que je lis.
Il s'agit d'une plutôt d'une question de vocabulaire.
Soit $G$ un groupe opérant (à gauche) sur un ensemble $X$. Soit $Y\subset X$. Lorsque l'on dit que $Y$ est stable sous l'action de $G$ sur $X$, est-ce que cela signifie que la restriction de l'action $G\times X\longrightarrow X$ à $G\times Y$ est à valeurs dans $Y$ ? Cela n'est malheureusement pas précisé dans le cours que je lis.
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Réponses
Une opération de $G$ sur $X$ peut se voir comme la donnée d'un morphisme de $\sigma:G \to Bij(X)$. Dire que $Y$ est stable sous l'action de $G$ signifie donc que $Y$ est stable par $\sigma_g$ pour tout $g \in G$.
Pour reprendre tes notations $\sigma_g(x)=\sigma(g,x)$.
A+
F.