Sous-extension galoisienne
Bonjour à tous
J'ai du mal à comprendre un théorème de mon cours, je suis donc venu vous poser quelques questions.
Dans la suite toutes les extensions sont supposées finies.
Voici le résultat dont je parle
Ce que je ne comprends pas c'est que pour moi une sous-extension d'une extension galoisienne est nécessairement galoisienne et là on est en train de les caractériser c'est bizarre par exemple mon prof à montré que (ii) $\Rightarrow$ (i) mais si (i) est vrai c'est bizarre. Bien entendu il doit [y] avoir une subtilité que je n'ai pas saisi.
En tout cas je voudrais quand même vous justifier le raison pour laquelle je pense qu'une sous-extension d'une extension galoisienne est nécessairement galoisienne.
Soit $ j : E\rightarrow F$ une extension galoisienne, par définition, il existe $P\in E[X]$ à racines simples tel que $F = j(E)(\text{rac}(P))$.
Soit $ E \stackrel{j}{\rightarrow} K \stackrel{i}{\rightarrow} F$ une sous-extension c'est-à-dire $K \subseteq F$ et $j(E) \subseteq K$ (donc $i$ est l'inclusion).
Alors $P \in K[X]$ est à racines simples et $F = j(E)(\text{rac}(P))$ ce qui prouve que l'extension $K \stackrel{j}{\rightarrow} F$ est galoisienne.
J'ai du mal à comprendre un théorème de mon cours, je suis donc venu vous poser quelques questions.
Dans la suite toutes les extensions sont supposées finies.
Voici le résultat dont je parle
Cours a écrit:Si $F/E$ est une extension galoisienne et $E \subseteq K \subseteq F$, alors les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i) $K/E$ est galoisienne,
(ii) $\forall \sigma \in G := Gal(F/E),\ \sigma(K) = K$
(iii) $H = Gal(F/K) \lhd G$,
Ce que je ne comprends pas c'est que pour moi une sous-extension d'une extension galoisienne est nécessairement galoisienne et là on est en train de les caractériser c'est bizarre par exemple mon prof à montré que (ii) $\Rightarrow$ (i) mais si (i) est vrai c'est bizarre. Bien entendu il doit [y] avoir une subtilité que je n'ai pas saisi.
En tout cas je voudrais quand même vous justifier le raison pour laquelle je pense qu'une sous-extension d'une extension galoisienne est nécessairement galoisienne.
Soit $ j : E\rightarrow F$ une extension galoisienne, par définition, il existe $P\in E[X]$ à racines simples tel que $F = j(E)(\text{rac}(P))$.
Soit $ E \stackrel{j}{\rightarrow} K \stackrel{i}{\rightarrow} F$ une sous-extension c'est-à-dire $K \subseteq F$ et $j(E) \subseteq K$ (donc $i$ est l'inclusion).
Alors $P \in K[X]$ est à racines simples et $F = j(E)(\text{rac}(P))$ ce qui prouve que l'extension $K \stackrel{j}{\rightarrow} F$ est galoisienne.
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Réponses
Et pour (iii) il faut la notion de sous-corps fixé : si $H\le G$ on regarde $F^H$ le sous-corps fixé par tous les éléments de $H$. Pour $\sigma \in G$ on a $$\sigma(F^H) = F^{\sigma H \sigma^{-1}}$$ donc ssi $H$ est normal alors $ F^{\sigma H \sigma^{-1}}=F^H$ d'où $F^H$ satisfait la condition (ii).
Enfin (en étendant l'isomorphisme $\phi : K(a)\to K(b)$ à $F\to\phi(F)=F$) on a que $K = F^{Gal(K/F)}$.
Merci pour votre exemple, je trouve ça très intéressant à mon (tout ?) petit niveau.
Alors je pense que $Q \rightarrow Q(2^{\frac{1}{3}})$ n'est pas galoisienne car il n'existe qu'un seul $Q$ automorphisme de $Q(2^{\frac{1}{3}}) \rightarrow Q(2^{\frac{1}{3}})$.
Pourquoi ? Je vais donner la preuve que j'ai trouvée, ce n'est probablement pas la plus maline.
Soit $\sigma$ un $K$ automorphisme de $Q(2^{\frac{1}{3}}) \rightarrow Q(2^{\frac{1}{3}})$. L'applicaiton $\sigma$ est $Q$ linéaire et bijective, l'image d'une base est une base.
Soit $(1, 2^{\frac{1}{3}},2^{\frac{2}{3}})$ une base de $Q(2^{\frac{1}{3}})$ sur $Q$.
On a $\sigma(1)= 1$.
On a $\sigma(2^{\frac{1}{3}})$ est racine du polynôme $X^{3} -2$ donc $\sigma(2^{\frac{1}{3}}) \in \{ 2^{\frac{1}{3}}, j2^{\frac{1}{3}}, j^{2} 2^{\frac{1}{3}} \}$ mais comme $Q(2^{\frac{1}{3}})) \subset \R$ alors $\sigma(2^{\frac{1}{3}})= 2^{\frac{1}{3}})$.
Il reste à regarder $\sigma(2^{\frac{2}{3}})$ qui est racine de $X^{3} -4$ donc $\sigma(2^{\frac{2}{3}}) = 2^{\frac{2}{3}}$ par le même raisonnement.
- Quel est le corps de décomposition de $X^3-2\in \Q[X]$, qu'on appelle $F$ ?
- Ce n'est pas $Gal(\Q(2^{1/3})/\Q)$ (qui est trivial) qui nous intéresse mais $Gal(F/\Q(2^{1/3}))$
- Donc quel est $[F:\Q(2^{1/3})]$ et $Gal(F/\Q(2^{1/3}))$ ?
- Bonus, quel est $Gal(F/\Q)$ ?