Arcsinus arcsinum fricat.
Une résolution inédite de l'éq. du second deg
dans Algèbre
Bonjour,
La méthode suivante est-elle connue ?
1) Je montre que, si $T(x) = ax^2 + bx + c$ a une racine réelle $u$, alors $T(x) = a(x - u)(x + u + b/a)$.
[Pour ce faire, j'écris $T(x) = T(x) - T(u)$, etc.]
2) Partant de là, je montre qu'il existe $d \ge 0$ tel que $T(x) = a((x + b/2a)^2 - d^2)$.
[ $d$ est la distance de chaque racine à la moyenne des racines $-b/2a$].
3) Je calcule $d^2$ en écrivant que $ax^2 + bx + c = a((x + b/2a)^2 - d^2)$, ce qui me donne $d^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2$.
4) En posant $\Delta = b^2 - 4ac$, je retrouve la conclusion usuelle.
A+
PS
On montre ainsi qu'un trinôme réel a au plus deux racines réelles.
En appliquant la technique du 1) à un quadrinôme, on montre qu'un polynôme réel de degré 3 a au plus trois racines réelles.
De proche en proche, on montre qu'un polynôme réel de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles.
La méthode suivante est-elle connue ?
1) Je montre que, si $T(x) = ax^2 + bx + c$ a une racine réelle $u$, alors $T(x) = a(x - u)(x + u + b/a)$.
[Pour ce faire, j'écris $T(x) = T(x) - T(u)$, etc.]
2) Partant de là, je montre qu'il existe $d \ge 0$ tel que $T(x) = a((x + b/2a)^2 - d^2)$.
[ $d$ est la distance de chaque racine à la moyenne des racines $-b/2a$].
3) Je calcule $d^2$ en écrivant que $ax^2 + bx + c = a((x + b/2a)^2 - d^2)$, ce qui me donne $d^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2$.
4) En posant $\Delta = b^2 - 4ac$, je retrouve la conclusion usuelle.
A+
PS
On montre ainsi qu'un trinôme réel a au plus deux racines réelles.
En appliquant la technique du 1) à un quadrinôme, on montre qu'un polynôme réel de degré 3 a au plus trois racines réelles.
De proche en proche, on montre qu'un polynôme réel de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles.
Réponses
-
Bonjour.
Effectivement, on peut faire plus compliqué que la méthode habituelle, purement calcul d'identités remarquables.
La méthode habituelle est d'ailleurs assez simple en transformant (*)
$ax^2+bx+c =0$ en
$4a^2x^2+4abx+4ac =0$
qui évite les fractions dans la factorisation.
Cordialement.
(-*) méthode Christophe. -
Piteux_Gore a écrit:De proche en proche, on montre qu'un polynôme réel de degré n a au plus n racines réelles.
Si $P$ polynôme a coefficients réels (ou complexes) a une racine réelle (ou complexe) $x_0$ alors
pour tout $x$ réel (ou complexe) $P(x)=(x-x_0)Q(x)$ où $Q$ est un polynôme à coefficients réels (ou complexes) de degré celui de $P$ -1.
Démonstration:
$P(x)=P(x)-P(x_0)$ c'est une somme de termes de la forme $\text{coefficient}\times (x^n-x_0^n)$ avec $n$ un entier naturel non nul.
Or, $x^n-x_0^n$ est le produit de $x-x_0$ par un polynôme à coefficients entiers de degré $n-1$.
Corollaire:
Un polynôme de degré $n$, entier naturel non nul, à coefficients réels (ou complexes) a au plus $n$ racines réelles (ou complexes). -
RE
On peut alléger le raisonnement (qui ne fait pas appel à la théorie générale des polynômes) en supposant connu le résultat
Deux nombres sont équidistants de leur moyenne et le carré de la distance est égal au carré de la moyenne diminué du produit.
1) Je montre que, si $T(x)=ax^2 + bx + c$ a une racine réelle $u$, alors $T(x)=a(x-u)(x+u+b/a)$.
2) On sait maintenant qu'il existe deux racines (distinctes ou non) de somme $-b/a$, donc de moyenne $-b/2a$, et de produit $c/a$ (obtenu par identification).
Les racines sont donc les deux nombres situés à la distance $d$ de $-b/2a$, où $d^2 = (-b/2a)^2 - c/a$.
Etc, etc.
Ce n'est pas plus long, ou guère plus, que la méthode classique, mais l'approche est peut-être moins naturelle.Arcsinus arcsinum fricat. -
Mon téléphone m'a recommandé cet article :
https://www.technologyreview.com/s/614775/a-new-way-to-make-quadratic-equations-easy/
L'accroche est parfaitement ridicule :Many former algebra students have painful memories of struggling to memorize the quadratic formula. A new way to derive it, overlooked for 4,000 years, is so simple it eliminates the need.
Ensuite, c'est 628 mots pour nous expliquer qu'un type dans un IREM américain a remarqué que dans $x^2 + 2bx +c$, la moyenne des deux racines est $-b$, et que on peut donc résoudre par le changement d'inconnue $x = -b + z$.
L'article dit que ça évite de "compléter le carré". (alors que c'est exactement la même chose).
Bref Piteux_gore, avec une bonne couverture journalistique, la gloire pourrait bien t'attendre. (une révélation après plus de quatre mille ans d'histoire !!) -
RE
Monsieur Loh et votre serviteur ont dû communiquer par télépathie !!! La réclame est effectivement inepte : cette approche diffère de la classique, mais n'est pas plus simple.
Elle m'est venue, alors que je résolvais l'exercice classique
Trouver la relation que doivent vérifier les coefficients du trinôme pour que $|x' - x''| = d$.
Je m'apprêtais à écrire le système $x'+x'' = -p, x'x'' = q, |x' - x''| = d$, quand me vint l'idée que $d$ n'était autre que Delta ; de fil en aiguille, je me mis à chercher une méthode simple d'obtenir la somme et la différence des racines et, après moult tâtonnements, j'ai trouvé le schmilblick.
Dans le même ordre d'idée, il faudrait perdre l'habitude de n'écrire les racines que sous la forme
$x' = (-b - \sqrt {b^2 - 4ac})/2a, x'' = (-b + \sqrt {b^2 - 4ac})/2a$ et employer aussi
$x' = -b/2a - \sqrt {b^2 - 4ac}/2a, x'' = -b/2a + \sqrt {b^2 - 4ac}/2a$ et
$x' = b(-1 - \sqrt {1 - 4ac/b^2})/2a, x'' = b(-1 + \sqrt {1 - 4ac/b^2})/2a$.
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Pour ceux qui veulent éviter de lire la présentation ampoulée de ce site web ils peuvent lire directement l'article sur Arxiv qui en est la source:
https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf -
Même l'article sur arXiv est assez fallacieux.
Il parle d'une "nouvelle méthode", alors que c'est exactement la même, à un changement de variable près.
non c'est la mêmeCould such a simple proof really be new?
8-) encore heureux !Irrational and imaginary numbers pose no obstacle to this method.
Ah finalement, la méthode "Babylonian parametrization in terms of the average" était connue depuis 4000 ans ?While teaching it one evening, his background in coaching math competition students led him to independently reinvent the Babylonian parameterization in terms of the average, and to recognize the difference of squares. Later, when teaching factoring, he suddenly realized that the same technique worked in general, leading to a new and simple proof of the quadratic formula!
May this story encourage the reader to think afresh about old things; seeing as how new progress was made on this 4,000 year old topic, more surprises certainly await the light of discovery.
Bon et puis aussi une autre remarque, ce changement de variables est exactement ce qu'on fait pour réduire une équation cubique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_cubique#Résolution
Wikipedia dit même explicitement qu'on peut faire la même chose pour n'importe quel degré !
Ici, Wikipedia crédite Euler : https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_polynomiale#Élimination_du_terme_sous-dominant mais même ça me semble douteux. Je dirais plutôt que les Babyloniens et les Grecs savaient déjà faire ça, et a fortiori les italiens (comme Cardan et Ferrari)
Bref, une innovation qui était bien cachée en pleine lumière ! On invente l'eau tiède et on convoque une conférence de presse. Sensationnalisme, quand tu nous tiens::o -
Marsup:
Si tu veux faire du buzz sur Youtube tu fais une vidéo avec cette méthode avec le titre:
"Une méthode simplissime pour résoudre des équations du second degré connue en Égypte il y a 4000 ans et qu'ils ne veulent pas que vous connaissiez".
NB;
J'ai changé Babylone pour Égypte, c'est plus tendance pour faire du buzz. -
Et moi j'ai découvert une nouvelle manière de calculer la dérivée de $x^2$.
Dans les cursus habituels, on calcule le taux d'accroissement $\frac{x^2-a^2}{x-a} = x+a \to 2a$, ce qui n'est pas intuitif.
Moi, j'ai découvert qu'on pouvait simplement écrire $x^2 = x \times x$, et dériver par $(uv)' = u'v + uv'$.
Je réclame donc les palmes académiques et une bourse pour ma future recherche qui se propose d'étudier la généralisation, en vue de la dérivation de $x^3$. -
RE
Je viens de dénicher dans Maillard 2nde (1961) l'exercice suivant.
Moralité : il n'y a de nouveau que ce qui était oublié.
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Des nouvelles fraîches de Monsirur L'on dans le New York Times. https://www.nytimes.com/2020/02/05/science/quadratic-equations-algebra.html
Et donc, en effet, il y a bien une vidéo youtube pour aller avec.
Apparemment, son nouvel argument, c'est que son approche est mieux que de simplement essayer des solutions complètement au hasard. Fallait y penser ! B-)-
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 3
3 Invités