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Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$

Envoyé par Piteux_gore 
Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
il y a quatre mois
Bonjour
La technique suivante présente-t-elle encore de l'intérêt ?

Pour résoudre graphiquement $x^3 + px + q = 0$, je remplace l'équation par le système
$x^4+ px^2 + qx = 0,\ x \ne 0$, puis par le système
$y = x^2,\ y^2+ py + qx = 0,\ x \ne 0$, puis par le système
$x^2 - y = 0, \ x^2 + y^2+ (p - 1)y + qx = 0,\ x \ne 0$.
Les racines de l'équation initiale sont ainsi les abscisses non nulles des intersections d'une parabole verticale et d'un cercle passant par l'origine du repère.

A+



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
il y a quatre mois
Ca marche cette chose? On se retrouverait avec des solutions d'équation du degré 3 exprimées uniquement avec des racines carrées (en sus des 4 opérations usuelles) à partir des éléments du corps de base (edit: $(\sqrt[3]{2};\sqrt[3]{2}^2 )$ est bel et bien solution du système d'inconnues $x,y$: [$x^2=y; y^2 = 2x]$).

Que se passe-t-il sur l'équation en $x$: $x^3-2=0$ ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Foys.
gb
Re: Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
il y a quatre mois
avatar
Bonjour,

Le cercle d'équation \[x^2+y^2-y-2x=0\] et la parabole d'équation \[y=x^2\] ont deux points d'intersection réels, l'origine et le point de coordonnées \((2^{1/3},2^{2/3})\).
L'élimination de \(y\) entre les deux équations conduit naturellement à l'équation aux abscisses : \[x^4-2x=0\] du quatrième degré à coefficients rationnels, mais dont les racines ne s'expriment pas uniquement avec des racines carrés à partir du corps des rationnels.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
il y a quatre mois
Exact; j'ai dégainé mon Wantzel un peu trop vite hot smiley
Du coup les intersections de quadriques ne sont pas constructibles...
gb
Re: Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
il y a quatre mois
avatar
Sinon, cela se saurait…
Re: Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
il y a quatre mois
avatar
Dans une ancienne contribution, [www.les-mathematiques.net] il y a 5 ou 6 ans, avant le grand séisme,
dans "histoire des mathématiques", j'avais contribué une résolution de
$x^3+px+q=0$ avec un nomogramme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
il y a quatre mois
avatar
Merci pour le lien.
[À ton service. winking smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
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