L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Résolution graphique de $x^3 + px + q = 0$
dans Algèbre
Bonjour
La technique suivante présente-t-elle encore de l'intérêt ?
Pour résoudre graphiquement $x^3 + px + q = 0$, je remplace l'équation par le système
$x^4+ px^2 + qx = 0,\ x \ne 0$, puis par le système
$y = x^2,\ y^2+ py + qx = 0,\ x \ne 0$, puis par le système
$x^2 - y = 0, \ x^2 + y^2+ (p - 1)y + qx = 0,\ x \ne 0$.
Les racines de l'équation initiale sont ainsi les abscisses non nulles des intersections d'une parabole verticale et d'un cercle passant par l'origine du repère.
A+
La technique suivante présente-t-elle encore de l'intérêt ?
Pour résoudre graphiquement $x^3 + px + q = 0$, je remplace l'équation par le système
$x^4+ px^2 + qx = 0,\ x \ne 0$, puis par le système
$y = x^2,\ y^2+ py + qx = 0,\ x \ne 0$, puis par le système
$x^2 - y = 0, \ x^2 + y^2+ (p - 1)y + qx = 0,\ x \ne 0$.
Les racines de l'équation initiale sont ainsi les abscisses non nulles des intersections d'une parabole verticale et d'un cercle passant par l'origine du repère.
A+
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Que se passe-t-il sur l'équation en $x$: $x^3-2=0$ ?
Le cercle d'équation \[x^2+y^2-y-2x=0\] et la parabole d'équation \[y=x^2\] ont deux points d'intersection réels, l'origine et le point de coordonnées \((2^{1/3},2^{2/3})\).
L'élimination de \(y\) entre les deux équations conduit naturellement à l'équation aux abscisses : \[x^4-2x=0\] du quatrième degré à coefficients rationnels, mais dont les racines ne s'expriment pas uniquement avec des racines carrés à partir du corps des rationnels.
Du coup les intersections de quadriques ne sont pas constructibles...
dans "histoire des mathématiques", j'avais contribué une résolution de
$x^3+px+q=0$ avec un nomogramme.
[À ton service. ;-) AD]