Fonction itérée linéaire
dans Algèbre
Bonjour,
en marge d'un problème relativement facile vu sur youtube (équation fonctionnelle sur ${\mathbb Z}$), je me posais la question de savoir si une fonction définie sur un $A$-module (ou un $K$-ev pour rester simple) dont l'itérée était linéaire était elle-même nécessairement linéaire. Je n'arrive pas à le démontrer, ni à trouver de contre-exemple.
Pour l'instant, j'ai tout juste pu montrer, en supposant que ${f \circ f}$ est une homothétie de rapport ${\lambda \neq 0}$, que ${ \forall x,\ f(\lambda x) = \lambda f(x)}$, autant dire pas grand chose.
Des idées ou des suggestions ?
Cordialement.
en marge d'un problème relativement facile vu sur youtube (équation fonctionnelle sur ${\mathbb Z}$), je me posais la question de savoir si une fonction définie sur un $A$-module (ou un $K$-ev pour rester simple) dont l'itérée était linéaire était elle-même nécessairement linéaire. Je n'arrive pas à le démontrer, ni à trouver de contre-exemple.
Pour l'instant, j'ai tout juste pu montrer, en supposant que ${f \circ f}$ est une homothétie de rapport ${\lambda \neq 0}$, que ${ \forall x,\ f(\lambda x) = \lambda f(x)}$, autant dire pas grand chose.
Des idées ou des suggestions ?
Cordialement.
Réponses
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Est-ce que toute involution est linéaire ?
Plus explicitement : la fonction $f:\Z\to\Z$ définie par $f(0)=1$, $f(1)=0$ et $f(n)=n$ si $n\notin\{0,1\}$ est une involution (donc $f\circ f$ est linéaire) mais elle n'est pas du tout linéaire. -
Si $f$ est la conjugaison sur $\mathbb C$, $f\circ f$ est $\mathbb C$-linéaire, mais pas $f$.
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Curiosité subsidiaire : est-il possible que $f^n$ soit linéaire pour tout $n \geqslant 2$ sans que $f$ le soit ?
Ça m'étonnerait mais bon... -
Si, facile : pour $x\in\R$, $f(x)=0$ si $x>0$ et $f(x)=1$ sinon. Cette fonction n'est pas du tout linéaire mais $f^n$ est l'application nulle (qui est linéaire) pour tout $n$.
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et si on exige que les $f^n$ soient linéaires non nulles ?
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Sur $\R^2$, $f(x,y)=(0,y)$ si $x>0$ et $f(x,y)=(1,y)$ si $x\le0$ ?
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D'accord.
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Merci pour vos réponses éclairantes
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Cas positif facile : si $f$ est bijective et $f^2$ et $f^3$ sont linéaires, alors $f$ est linéaire.
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Malgré ces réponses (cas bijectif, cas « nilpotent »), la question n'est pas vraiment close. Est-ce qu'on peut obtenir un résultat de décomposition de l'espace en deux (sev supplémentaires ?), une partie sur laquelle $f\circ f=0$ et une partie sur laquelle elle est bijective et linéaire ? Une sorte de lemme de Fitting, quoi.
Commençons par le cas d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie. Appliquons justement le lemme de Fitting à $f^2$ : on peut écrire $E=F\oplus G$, avec $f^2|_F$ nilpotente et $f^2|_G$ inversible. Sur $G$, qui est stable par $f^3$ (non ?), vu que $f|_G=f^3|_G\circ f|_G^{-2}$, $f$ est linéaire. Sur $F$... je ne sais pas trop quoi dire. -
Je me disais bien qu'il devait y avoir un résultat avec $f^2$ et $f^3$ linéaire, mais je n'avais pas pensé à la dernière hypothèse...
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